質問＜４２７＞２００１／３／２１
from=ＰＰ
「方程式」

整数係数ｆ（ｘ）＝０が、１＋√２＋√３を解に持ち
ｆ（ｘ）の最高次の係数が１の時、
ｆ（ｘ）を求め、他の解をすべて求めよ。
また、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）をＣとし、曲線Ｐの方程式が
ｙ＝ｐ（ｘ－１）２乗＋１のとき、ＣとＰが
相違なる３点を共有するｐの範囲を求めよ。
おねがいします。

お返事２００１／３／２３～２４
from=武田

ｘ＝１＋√２＋√３
ｘ－１＝√２＋√３
２乗して、
ｘ2 －２ｘ＋１＝２＋２√６＋３
ｘ2 －２ｘ＋１＝５＋２√６
ｘ2 －２ｘ－４＝２√６
２乗して
ｘ4 ＋４ｘ2 ＋１６－４ｘ3 ＋１６ｘ－８ｘ2 ＝２４
ｘ4 －４ｘ3 －４ｘ2 ＋１６ｘ－８＝０
これが整数係数の方程式となる。
これを組立除法を使って因数分解して（計算を記入できないので省略）
∴ｘ＝１＋√２＋√３，
　　　１＋√２－√３，
　　　１－√２＋√３，
　　　１－√２－√３
の４つの解をもつ。
ｙ＝ｘ4 －４ｘ3 －４ｘ2 ＋１６ｘ－８と
ｙ＝ｐ（ｘ－１）2 ＋１
の交点が３つあるのは、方程式
ｘ4 －４ｘ3 －４ｘ2 ＋１６ｘ－８＝ｐ（ｘ－１）2 ＋１
の実数解が３つある場合である。

ｘ4 －４ｘ3 －（４＋ｐ）ｘ2 ＋（１６＋２ｐ）ｘ－（９＋ｐ）＝０
点Ａ（１，１）で接点となるので、（ｘ－１）2 ＝ｘ2 －２ｘ＋１で割ると割り切れるから
商（ｘ2 －２ｘ－９－ｐ）より、
この商の２次方程式は２つの実数解を持つから、判別式より
Ｄ／４＝（－１）2 ＋９＋ｐ＞０
∴ｐ＞－１０……（答）