質問<442>2001/4/6
4月10日に春休み明けの課題考査があるので、超焦ってますー。 範囲は50ページある問題集1冊全て。ヤバイです。教えて下さい。 問 直線y=x+2と放物線y=x2 -2ax+5a2 +2 とが相異なる 2点P、Qで交わるとする。 (1)定数aの値の範囲を求めよ。 (2)原点をOとして、△OPQの面積をSとする時、S の最大値とその時のaの値を求めよ。 一応、答えを見ながら(1)は理解しました。 でもどうも(2)はムムム…という感じで。お願いします。
お返事2001/4/6
from=武田
問1 {y=x+2 {y=x2 -2ax+5a2 +2 を連立して x2 -2ax+5a2 +2=x+2 x2 -(2a+1)x+5a2 =0 相異なる2点P、Qがあるということは、相異なるxの値をもつことに なるから、判別式D>0の場合より、 D=(2a+1)2 -4・1・5a2 >0 4a2 +4a+1-20a2 >0 -16a2 +4a+1>0 16a2 -4a-1<0 16a2 -4a-1=0より、 2±√(4+16) 2±2√5 1±√5 a=─────────=─────=──── 16 16 8 したがって、 1-√5 1+√5 ────<a<──── ……(答) 8 8 問2 △OPQの面積をSとすると、 1 S=─・PQ・OHより、 2 PQは連立の解だから、 x2 -(2a+1)x+5a2 =0 2a+1±√(4a2 +4a+1-20a2 ) x=───────────────────── 2 2a+1±√(-16a2 +4a+1) =────────────────── 2 y=x+2 2a+5±√(-16a2 +4a+1) =────────────────── 2 PQ=√{(-16a2 +4a+1)+(-16a2 +4a+1)} =√{2(-16a2 +4a+1)} OHは直線y=x+2と原点との距離だから、 x-y+2=0より、 |0-0+2| OH=──────────=√2 √{12 +(-1)2 } したがって、 1 S=─・√{2(-16a2 +4a+1)}・√2 2 =√(-16a2 +4a+1) √の中身をyとおくと、 y=-16a2 +4a+1 1 1 1 =-16(a2 -─a+──)+─+1 4 64 4 1 5 =-16(a-─)2 +─ 8 4 したがって、 1 5 √5 a=─のとき、最大値S=√(─)=── ……(答) 8 4 2