質問＜４４２＞２００１／４／６
from=ラッキー
「点、直線、円の問題」

4月10日に春休み明けの課題考査があるので、超焦ってますー。
範囲は50ページある問題集１冊全て。ヤバイです。教えて下さい。

問　直線y＝x＋2と放物線y＝x2 －2ax＋5a2 ＋2 とが相異なる
　　2点Ｐ、Ｑで交わるとする。
　
　　(1)定数ａの値の範囲を求めよ。

　　(2)原点をＯとして、△ＯＰＱの面積をＳとする時、Ｓ
　　　　の最大値とその時のａの値を求めよ。


一応、答えを見ながら(1)は理解しました。
でもどうも(2)はムムム…という感じで。お願いします。

お返事２００１／４／６
from=武田

問１
｛ｙ＝ｘ＋２
｛ｙ＝ｘ2 －２ａｘ＋５ａ2 ＋２
を連立して
ｘ2 －２ａｘ＋５ａ2 ＋２＝ｘ＋２
ｘ2 －（２ａ＋１）ｘ＋５ａ2 ＝０
相異なる２点Ｐ、Ｑがあるということは、相異なるｘの値をもつことに
なるから、判別式Ｄ＞０の場合より、

Ｄ＝（２ａ＋１）2 －４・１・５ａ2 ＞０
４ａ2 ＋４ａ＋１－２０ａ2 ＞０
－１６ａ2 ＋４ａ＋１＞０
１６ａ2 －４ａ－１＜０
１６ａ2 －４ａ－１＝０より、

　　２±√（４＋１６）　２±２√５　１±√５
ａ＝─────────＝─────＝────
　　　　　１６　　　　　　　１６　　　　８

したがって、
１－√５　　　１＋√５
────＜ａ＜────　……（答）
　　８　　　　　　８

問２
△ＯＰＱの面積をＳとすると、
　　１
Ｓ＝─・ＰＱ・ＯＨより、
　　２

ＰＱは連立の解だから、
ｘ2 －（２ａ＋１）ｘ＋５ａ2 ＝０

　　２ａ＋１±√（４ａ2 ＋４ａ＋１－２０ａ2 ）
ｘ＝─────────────────────
　　　　　　　　　　２

　　２ａ＋１±√（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）
　＝──────────────────
　　　　　　　　　２

ｙ＝ｘ＋２

　　２ａ＋５±√（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）
　＝──────────────────
　　　　　　　　　２


ＰＱ＝√｛（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）＋（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）｝
　　＝√｛２（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）｝

ＯＨは直線ｙ＝ｘ＋２と原点との距離だから、
ｘ－ｙ＋２＝０より、

　　　　｜０－０＋２｜
ＯＨ＝──────────＝√２
　　　√｛１2 ＋（－１）2 ｝

したがって、
　　１
Ｓ＝─・√｛２（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）｝・√２
　　２


　＝√（－１６ａ2 ＋４ａ＋１）

√の中身をｙとおくと、
ｙ＝－１６ａ2 ＋４ａ＋１

　　　　　　　　　１　　　１　　１
　＝－１６（ａ2 －─ａ＋──）＋─＋１
　　　　　　　　　４　　６４　　４

　　　　　　　　１　　　５
　＝－１６（ａ－─）2 ＋─
　　　　　　　　８　　　４

したがって、
　　１　　　　　　　　　　　５　　√５
ａ＝─のとき、最大値Ｓ＝√（─）＝──　……（答）
　　８　　　　　　　　　　　４　　　２