質問<469>2001/5/14
∫∫D (dydx)/(x*x+1) D={(x,y)|x*x≦y≦x} D=積分範囲 自分で解いてみたのですが、正しい解答がないので 答えが合ってるかどうかわかりません・・・ 模範解答をよろしくお願いします。
お返事2001/5/14
from=武田
y=x2 とy=xの交点のx座標は、 x2 =xより、x=0,1 1 ∫∫D ─────dxdy x2 +1 1 x 1 =∫{∫ ─────dy}dx 0 x2 x2 +1 1 y x =∫[────] dx 0 x2 +1 x2 1 x x2 =∫{────-────}dx 0 x2 +1 x2 +1 1 x-x2 =∫{──────}dx 0 x2 +1 1 x+1-(x2 +1) =∫{──────────}dx 0 x2 +1 1 x+1 1 =∫{─────}dx-∫dx 0 x2 +1 0 1 1 2x 1 1 1 =─・∫ ────dx+∫ ────dx-[x] 2 0 x2 +1 0 x2 +1 0 t=x2 +1とおくと、 dt=2xdx x|0─→1 ────── t|1─→2 x=tanθとおくと、 1 x2 +1=tan2 θ+1=──── cos2 θ dθ dx=──── cos2 θ x|0─→1 ──────── θ|0─→π/4 1 2 dt π/4 1 dθ =─・∫ ──+∫ ─────・────-1 2 1 t 0 1 cos2 θ ─── cos2 θ 1 2 π/4 =─[log|t|] + ∫ dθ-1 2 1 0 1 π/4 =─(log2-log1)+[θ] -1 2 0 1 π =─log2+──-1……(答) 2 4