質問＜４６９＞２００１／５／１４
from=Tetsuya
「２重積分」

∫∫D （dydx)/(x*x+1)   D={(x,y)|x*x≦y≦x}
D=積分範囲

自分で解いてみたのですが、正しい解答がないので
答えが合ってるかどうかわかりません・・・
模範解答をよろしくお願いします。

お返事２００１／５／１４
from=武田

ｙ＝ｘ2 とｙ＝ｘの交点のｘ座標は、
ｘ2 ＝ｘより、ｘ＝０，１
　　　　　１
∫∫D　─────ｄｘｄｙ
　　　　ｘ2 ＋１

　１　ｘ　　　１
＝∫｛∫　─────ｄｙ｝ｄｘ
　０　ｘ2 　ｘ2 ＋１

　１　　　ｙ　　ｘ
＝∫［────］　　ｄｘ
　０　ｘ2 ＋１　ｘ2 

　１　　ｘ　　　　ｘ2 
＝∫｛────－────｝ｄｘ
　０　ｘ2 ＋１　ｘ2 ＋１

　１　　ｘ－ｘ2 
＝∫｛──────｝ｄｘ
　０　　ｘ2 ＋１

　１　　ｘ＋１－（ｘ2 ＋１）
＝∫｛──────────｝ｄｘ
　０　　　　ｘ2 ＋１

　１　　ｘ＋１　　　　　１
＝∫｛─────｝ｄｘ－∫ｄｘ
　０　　ｘ2 ＋１　　　　０

　１　１　　２ｘ　　　　１　　　１　　　　　　１
＝─・∫　────ｄｘ＋∫　────ｄｘ－［ｘ］
　２　０　ｘ2 ＋１　　　０　ｘ2 ＋１　　　　　０

　　　　　ｔ＝ｘ2 ＋１とおくと、
　　　　　ｄｔ＝２ｘｄｘ
　　　　　ｘ｜０─→１
　　　　　──────
　　　　　ｔ｜１─→２

　　　　　ｘ＝tanθとおくと、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　ｘ2 ＋１＝tan2 θ＋１＝────
　　　　　　　　　　　　　　　　　cos2 θ
　　　　　　　　　ｄθ
　　　　　ｄｘ＝────
　　　　　　　　cos2 θ

　　　　　ｘ｜０─→１
　　　　　────────
　　　　　θ｜０─→π／４

　１　２　ｄｔ　π/4　　１　　　　ｄθ
＝─・∫　──＋∫　─────・────－１
　２　１　ｔ　　０　　　１　　　cos2 θ
　　　　　　　　　　　───
　　　　　　　　　　　cos2 θ

　１　　　　　　２　　π/4
＝─［log｜ｔ｜］　＋　∫　ｄθ－１
　２　　　　　　１　　　０

　１　　　　　　　　　　　π/4
＝─（log２－log１）＋［θ］　　－１
　２　　　　　　　　　　　０

　１　　　　π
＝─log２＋──－１……（答）
　２　　　　４