質問＜４７１＞２００１／５／１５
from=ののの
「積分」

証明問題です。

インテグラルの (1/(1+T^2))dt=-iln((1+it)/(1-it))
 i=ルート-1

t=iu として 分母をパーシャルフラクションとして
解きなさい。

お返事２００１／５／１６
from=武田

　　１　　　　　　　　　　１＋ｉｔ
∫────ｄｔ＝－ｉ・ｌｎ────　を証明せよ。
　１＋ｔ2 　　　　　　　　１－ｉｔ

ｔ＝ｉｕとおくと、ｄｔ＝ｉｄｕ。部分分数分解(partial-fraction)より、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　部分的　分数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　１　　　　　　　　　　１　　１　　　１
左辺＝∫────・ｉｄｕ＝ｉ・∫─（───＋───）ｄｕ
　　　　１－ｕ2 　　　　　　　　２　１－ｕ　１＋ｕ

　　　１　　　　－１　　　１
　　＝─ｉ∫（－───＋───）ｄｕ
　　　２　　　　１－ｕ　１＋ｕ

　　　１
　　＝─ｉ（－ｌｎ｜１－ｕ｜＋ｌｎ｜１＋ｕ｜）＋Ｃ
　　　２

　　　１　　　　｜１＋ｕ｜
　　＝─ｉ・ｌｎ─────＋Ｃ
　　　２　　　　｜１－ｕ｜

ｉｔ＝ｉ2 ｕより、ｕ＝－ｉｔ

　　　１　　　　｜１＋（－ｉｔ）｜
左辺＝─ｉ・ｌｎ─────────＋Ｃ
　　　２　　　　｜１－（－ｉｔ）｜

　　　１　　　　｜１－ｉｔ｜
　　＝─ｉ・ｌｎ──────＋Ｃ
　　　２　　　　｜１＋ｉｔ｜

ｌｎはｌｏｇeのこと。分母と分子を逆にして、
　　Ａ　　　　Ｂ　　　　　　　　Ｂ
ｌｎ─＝ｌｎ（─）-1＝－１・ｌｎ─
　　Ｂ　　　　Ａ　　　　　　　　Ａ
より、

　　　　１　　　　｜１－ｉｔ｜　　　　　　　　１－ｉｔ
左辺＝－─ｉ・ｌｎ──────＋Ｃ≠－ｉ・ｌｎ────＝右辺
　　　　２　　　　｜１＋ｉｔ｜　　　　　　　　１＋ｉｔ

どうも右辺まで行き着かない。積分定数や係数の１／２や絶対値記号｜｜
はどうなるのだろうか？