質問<471>2001/5/15
証明問題です。 インテグラルの (1/(1+T^2))dt=-iln((1+it)/(1-it)) i=ルート-1 t=iu として 分母をパーシャルフラクションとして 解きなさい。
お返事2001/5/16
from=武田
1 1+it ∫────dt=-i・ln──── を証明せよ。 1+t2 1-it t=iuとおくと、dt=idu。部分分数分解(partial-fraction)より、 部分的 分数 ↓ 1 1 1 1 左辺=∫────・idu=i・∫─(───+───)du 1-u2 2 1-u 1+u 1 -1 1 =─i∫(-───+───)du 2 1-u 1+u 1 =─i(-ln|1-u|+ln|1+u|)+C 2 1 |1+u| =─i・ln─────+C 2 |1-u| it=i2 uより、u=-it 1 |1+(-it)| 左辺=─i・ln─────────+C 2 |1-(-it)| 1 |1-it| =─i・ln──────+C 2 |1+it| lnはlogeのこと。分母と分子を逆にして、 A B B ln─=ln(─)-1=-1・ln─ B A A より、 1 |1-it| 1-it 左辺=-─i・ln──────+C≠-i・ln────=右辺 2 |1+it| 1+it どうも右辺まで行き着かない。積分定数や係数の1/2や絶対値記号|| はどうなるのだろうか?