質問＜４８２＞２００１／５／２０
from=鈴木三郎
「整式の割り算」

次の式をaについての整式と見て計算し、商と余りを求めよ
〇がついてる数字は乗として（つまり『②』は平方）
（a③―２７b③―１―９ab）÷(a―３b―１)

といてったら答えは余りが出ないはずなんですが割り切れないんです…。

お返事２００１／５／２０
from=武田

（ａ3 －２７ｂ3 －１－９ａｂ）÷（ａ－３ｂ－１）
の割られる整式は、
次の因数分解の公式が使われて、
ａ3 ＋ｂ3 ＋ｃ3 －３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ2 ＋ｂ2 +c2 －ａｂ－ｂｃ－ｃａ）より、

（ａ3 －２７ｂ3 －１－９ａｂ）
＝（ａ）3 ＋（－３ｂ）3 ＋（－１）3 －３・ａ（－３ｂ）（－１）
＝（ａ－３ｂ－１）（ａ2 ＋９ｂ2 ＋１＋３ａｂ－３ｂ＋ａ）

したがって、（ａ－３ｂ－１）が割る整式だから、
商は
（ａ2 ＋９ｂ2 ＋１＋３ａｂ－３ｂ＋ａ）　……（答）
となる。割り切れるので、余りはない。