質問＜４８７＞２００１／５／２３
from=ハル
「相加相乗の証明問題」

途中まで解いてつまづいてます。どなたか、アドバイスをお願いいたします。
問題は相加平均と相乗平均を使った発展問題です。

[問い]
a＞b＞0のとき
a+b/2-√ab＞(a-b)2乗(a+3b)(3a+b)/8(a+b)(a2乗+6ab+b2乗）＞0が成り立つ
ことを示せ。

ここで、√a/√b=t＞0とおいて考えて、a=bt2乗を代入して考えたのですが、
ここでいきづまってます。どなたか、アドバイスよろしく御願いします。

お返事２００１／５／２３
from=武田

ａ＋ｂ　　　　　　　（ａ－ｂ）2 （ａ＋３ｂ）（３ａ＋ｂ）
───－√（ａｂ）＞──────────────────＞０
　２　　　　　　　　８（ａ＋ｂ）（ａ2 ＋６ａｂ＋ｂ2 ）

√ａ
──＝ｔとおくと、√ａ＝√ｂ・ｔ、２乗して、ａ＝ｂ・ｔ2 
√ｂ

　　　ｂｔ2 ＋ｂ　　　　ｂｔ2 －２ｂｔ＋ｂ　ｂ
左辺＝─────－ｂｔ＝─────────＝─（ｔ2 －２ｔ＋１）
　　　　　２　　　　　　　　　２　　　　　　２

　　　ｂ
　　＝─（ｔ－１）2 
　　　２

　　　（ａ－ｂ）2 （ａ＋３ｂ）（３ａ＋ｂ）
中辺＝──────────────────
　　　８（ａ＋ｂ）（ａ2 ＋６ａｂ＋ｂ2 ）

　　　ｂ2 （ｔ2 －１）2 ｂ（ｔ2 ＋３）ｂ（３ｔ2 ＋１）
　　＝──────────────────────
　　　８ｂ（ｔ2 ＋１）ｂ2 （ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　ｂ（ｔ2 －１）2 （ｔ2 ＋３）（３ｔ2 ＋１）
　　＝─────────────────────
　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

ａ＞ｂ＞０
　　√ａ
ｔ＝──＞１より、ｔ－１＞０
　　√ｂ

分子＝ｂ（ｔ2 －１）2 （ｔ2 ＋３）（３ｔ2 ＋１）＞０
分母＝８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）＞０

したがって、
∴中辺＞０……①

さて、証明のために、与式＝左辺－中辺として計算すると、
　　　ｂ　　　　　　　ｂ（ｔ2 －１）2 （ｔ2 ＋３）（３ｔ2 ＋１）
与式＝─（ｔ－１）2 －─────────────────────
　　　２　　　　　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　４ｂ（ｔ－１）2 （ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）－ｂ（ｔ2 －１）2 （ｔ2 ＋３）（３ｔ2 ＋１）
　　＝───────────────────────────────────────────────
　　　　　　　　　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　ｂ（ｔ－１）2 ｛４（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）－（ｔ＋１）2 （ｔ2 ＋３）（３ｔ2 ＋１）｝
　　＝───────────────────────────────────────────────
　　　　　　　　　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　ｂ（ｔ－１）2 ｛４（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）－（ｔ＋１）2 （ｔ2 ＋３）（３ｔ2 ＋１）｝
　　＝───────────────────────────────────────────────
　　　　　　　　　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　ｂ（ｔ－１）2 ｛（４ｔ6 ＋２８ｔ4 ＋２８ｔ2 ＋４）－（３ｔ6 ＋６ｔ5 ＋１３ｔ4 ＋２０ｔ3 ＋１３ｔ2 ＋６ｔ＋３）｝
　　＝───────────────────────────────────────────────────────
　　　　　　　　　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　ｂ（ｔ－１）2 （ｔ6 －６ｔ5 ＋１５ｔ4 －２０ｔ3 ＋１５ｔ2 －６ｔ＋１）
　　＝─────────────────────────────────────
　　　　　　　　　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　ｂ（ｔ－１）2 （ｔ－１）6 
　　＝───────────────────
　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

　　　　　　ｂ（ｔ－１）8 
　　＝─────────────────
　　　８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）

ａ＞ｂ＞０
　　√ａ
ｔ＝──＞１より、ｔ－１＞０
　　√ｂ

分子＝ｂ（ｔ－１）8 ＞０
分母＝８（ｔ2 ＋１）（ｔ4 ＋６ｔ2 ＋１）＞０

したがって、
与式＝左辺－中辺＞０
∴左辺＞中辺……②

①と②より、
∴左辺＞中辺＞０　……（答）