質問<488>2001/5/24
以下の関係式の証明方法がわかりません。 数学的帰納法で証明できるようなのですが... n Σ[nCk][(-1)^k]/[k+x] = n!/[x(x+1)…(x+n)] k=0 ちなみに、(1-1)^n を展開して 0 = Σ[nCk][(-1)^k] = Σ[nCk][(-1)^k]*k/[k+x] k k + Σ[nCk][(-1)^k]*x/[k+x] k としたのですが、ここから先へ進めません。 どなたか、アドバイスのほど、よろしくお願いいたします。
お返事2001/5/25
from=武田
数学的帰納法で証明してみよう。 (1)n=1のとき 1 左辺=Σ[1Ck][(-1)^k]/[k+x] k=0 1 1 1+x-x 1 =─-───=──────=────── x 1+x x(1+x) x(1+x) 右辺=1!/[x(x+1)] 1 =────── x(x+1) したがって、左辺=右辺 (2)n=pのとき成り立つと仮定して、 p Σ[pCk][(-1)^k]/[k+x] = p!/[x(x+1)…(x+p)] k=0 n=p+1のとき p+1 左辺=Σ [p+1Ck][(-1)^k]/[k+x] k=0 p+1 (p+1)! =Σ ───────────[(-1)^k]/[k+x] k=0 k!(p+1-k)! p (p+1)・p! =Σ ─────────────────[(-1)^k]/[k+x]+(-1)p+1 /(p+1+x) k=0 (p+1-k)・k!(p-k)! p (p+1) =Σ ───────・pCk・[(-1)^k]/[k+x]+(-1)p+1 /(p+1+x) k=0 (p+1-k) ※こっから先に進まない。誰かアドバイスを!! d3さんからアドバイスを頂きました。助かりました。感謝!!
お便り2001/6/16
from=d3
まず,n=1 では成り立っています. 次にn≧1 で成り立っているとします.すなわち, n Σ[nCk][(-1)^k]/[k+x] = n!/[x(x+1)…(x+n)] ・・・# k=0 が成り立つとします. ここで, n+1Ck = nCk + nCk-1 です. いま,nCn+1= nC-1=0 として, n+1 Σ[n+1Ck][(-1)^k]/[k+x] k=0 n+1 = Σ{[nCk]+[nCk-1]}[(-1)^k]/[k+x] k=0 n+1 n+1 = Σ[nCk][(-1)^k]/[k+x] + Σ[nCk-1][(-1)^k]/[k+x] k=0 k=0 n n = Σ[nCk][(-1)^k]/[k+x] + Σ[nCk][(-1)^(m+1)]/[m+1+x] k=0 m=0 (nCn+1= nC-1=0で,m=k-1 としました) n n = Σ[nCk][(-1)^k]/[k+x] -Σ[nCk][(-1)^m]/[m+(1+x)] k=0 m=0 = n!/[x(x+1)…(x+n)] - n!/[(x+1)…(x+n)(x+n+1)] (#から,後ろは,m とx は関係ないので,) = n!/[(x+1)…(x+n)]{1/x-1/(x+n+1)} = n!/[(x+1)…(x+n)]{(n+1)/x(x+n+1)} = (n+1)!/[x(x+1)…(x+n)(x+n+1)] これは,n+1 のときも成り立っているコトを示しています. コレでよろしいのでは?