質問<502>2001/6/2
毎回二重積分なんですが・・・よろしくお願いします。 問1 ∫∫D {y/(x^2+y^2)} dx dy D:0≦x≦y≦4 Dは積分範囲 問2 ∫∫D √(x^2-y^2) dx dy D:0≦y≦x≦1 D:積分範囲 2回計算したんですが、答えは π/12 となってるのに どうしても (π-1)/12 になってしまいます・・・ 正しい解答の仕方をお願いします。
お返事2001/6/3
from=武田
問1 y ∫∫D(──────)dxdy x2 +y2 D:0≦x≦y≦4 を表現し直すと、 4 4 2y ∫ ∫ ────────dxdy 0 x 2(x2 +y2 ) 1 4 4 =─∫ [log|x2 +y2 |] dx 2 0 x 1 4 =─∫ (log|x2 +16|-log|2x2 |)dx 2 0 1 4 4 2x2 =─{[x・log|x2 +16|] -∫ ─────dx 2 0 0 x2 +16 4 4 4x2 -[x・log|2x2 |] +∫ ─────dx} 0 0 2x2 1 4 2(x2 +16)-32 =─{4log32-∫ ─────────── dx 2 0 x2 +16 4 -4log32+∫ 2dx} 0 1 4 32 =─{∫ ─────dx} 2 0 x2 +16 4 dx =16・∫ ───── 0 x2 +16 1 x 4 =16・[─tan-1─ ] 4 4 0 1 π =16・─・─=π ……(答) 4 4 問2 ∫∫D √(x2 -y2 ) dx dy D:0≦y≦x≦1 を表現し直すと、 1 x ∫ ∫ √(x2 -y2 )dxdy 0 0 1 1 y x =∫ [─{y√(x2 -y2 )+x2 sin-1 ─ }] dx 0 2 x 0 1 1 =∫ ───(x2 sin-1 1 )dx 0 2 1 1 π =─ ∫ (─・x2 )dx 2 0 2 π x3 1 π =─[──] =── ……(答) 4 3 0 12