質問<51>98/9/19
置換積分はなぜ成り立つのでしょうか?
お返事98/9/20
from=武田
不定積分∫f(x)dx=F(x)+Cにおいて、 f(x)が複雑なとき、置換積分という計算がある。 f(x)をx=ψ(t)で置換する。 ∫f(x)dx =∫f{ψ(t)}ψ′(t)dt……① =F{ψ(t)}+C =F(x)+C 特に①のところは、合成関数の微分からきている。 x=ψ(t)より、 d d dx d d ─F{ψ(t)}=─F{ψ(t)}・─=─F(x)・─ψ(t)=f(x)・ψ′(t) dt dx dt dx dt tで両辺を積分して、 F{ψ(t)}+C=∫f(x)・ψ′(t)dt F(x)+C=∫f{ψ(t)}・ψ′(t)dt したがって、 ∫f(x)dx=∫f{ψ(t)}ψ′(t)dtと置換積分化することが出来る。