質問＜５１＞９８／９／１９
from=坂田
「置換積分について」

置換積分はなぜ成り立つのでしょうか？

お返事９８／９／２０
from=武田

不定積分∫f(x)dx＝F(x)＋Ｃにおいて、
f(x)が複雑なとき、置換積分という計算がある。
f(x)をｘ＝ψ(t)で置換する。
∫f(x)dx
＝∫f{ψ(t)}ψ′(t)dt……①
＝F{ψ(t)}＋Ｃ
＝F(x)＋Ｃ

特に①のところは、合成関数の微分からきている。
ｘ＝ψ（ｔ）より、
 d　　　　　 d　　　　　dx　 d　　　 d
─F{ψ(t)}＝─F{ψ(t)}・─＝─F(x)・─ψ(t)＝f(x)・ψ′(t)
dt　　　　　dx　　　　　dt　dx　　　dt

ｔで両辺を積分して、
F{ψ(t)}＋Ｃ＝∫f(x)・ψ′(t)dt
F(x)＋Ｃ＝∫f{ψ(t)}・ψ′(t)dt
したがって、
∫f(x)dx＝∫f{ψ(t)}ψ′(t)dtと置換積分化することが出来る。