質問＜５１０＞２００１／６／１０
from=ももっち
「Σの計算」

Σ　の　（i  C  k） ・(n   C  ２i)  の　i  が　ｋ　から　ｎ/２　まで
を計算すると、
ｎ*（ｎ－ｋ　　C　　ｋ）/（ｎ－ｋ）*２＾（ｎ-２*ｋ-１）になることを示せ。
です。お願いします。

お返事２００１／６／１１
from=武田

未解決コーナーに移し、アドバイスを求めたところ、
Ｔ．Ｋさんから次のようなアドバイスを頂きました。
感謝！！

お便り２００１／６／１７
from=Ｔ．Ｋ

こんにちは。武田先生。
先日、まったく知らないmarthさんという方から数学の問題が送られて
きまして、問い合わせしてみたのですが返事がまったく返ってきません
でした。
 
今日、高校数学の窓さんの未解決問題を拝見したところ
ももっちさんたる人の問題とmarthさんという方から送られてきたそれが
酷似していました。
そこで、武田先生に私が考えた指針を吟味していただきたくメールさせて
いただきました。
よろしくお願い致します。
 
【指針】
２項定理より、 
(1+1/x)^n=C[n,0]+C[n,1](1/x)+C[n,2](1/x)^2+… ・・・(1) 

1/(1-x)=1+x+x^2+… を k 回微分して、 
1/(1-x)^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]x+C[k+2,k]x^2+… 
x を x^2 で置き換えると、 
1/(1-x^2)^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]x^2+C[k+2,k]x^4+…・・・(2) 

(1) と (2) を掛け合わせたとき、右辺の (1/x)^(2k) の係数が、求める和。 
それを S とおく。留数定理より、 
S={1/(2πi)}∮(1+1/x)^n/(1-x^2)^(k+1)*x^(2k-1)dx 
である（積分の経路は、複素平面上、反時計回りに原点をまわる小さな円）。 

1/x=z と置換積分。 
S={1/(2πi)}∮(z+1)^n/(z^2-1)^(k+1)*zdz 
積分の経路は、反時計回りにまわる大きな円。 

(z+1)^n/(z^2-1)^(k+1)*z=(z+1)^(n-k-1)/(z-1)^(k+1)*z 
なので、極は z=1 のみ。見やすいように z-1=u と置き換えると、 
(u+2)^(n-k-1)*{(u+2)-1}/u^(k+1)={(u+2)^(n-k)-(u+2)^(n-k-1)}/u^(k+1) 
であり、分子を展開して、1/u の係数を調べることから、留数は、 
C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1) 
とわかる。 

∴ S=C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1)