質問<510>2001/6/10
Σ の (i C k) ・(n C 2i) の i が k から n/2 まで を計算すると、 n*(n-k C k)/(n-k)*2^(n-2*k-1)になることを示せ。 です。お願いします。
お返事2001/6/11
from=武田
未解決コーナーに移し、アドバイスを求めたところ、 T.Kさんから次のようなアドバイスを頂きました。 感謝!!
お便り2001/6/17
from=T.K
こんにちは。武田先生。 先日、まったく知らないmarthさんという方から数学の問題が送られて きまして、問い合わせしてみたのですが返事がまったく返ってきません でした。 今日、高校数学の窓さんの未解決問題を拝見したところ ももっちさんたる人の問題とmarthさんという方から送られてきたそれが 酷似していました。 そこで、武田先生に私が考えた指針を吟味していただきたくメールさせて いただきました。 よろしくお願い致します。 【指針】 2項定理より、 (1+1/x)^n=C[n,0]+C[n,1](1/x)+C[n,2](1/x)^2+… ・・・(1) 1/(1-x)=1+x+x^2+… を k 回微分して、 1/(1-x)^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]x+C[k+2,k]x^2+… x を x^2 で置き換えると、 1/(1-x^2)^(k+1)=C[k,k]+C[k+1,k]x^2+C[k+2,k]x^4+…・・・(2) (1) と (2) を掛け合わせたとき、右辺の (1/x)^(2k) の係数が、求める和。 それを S とおく。留数定理より、 S={1/(2πi)}∮(1+1/x)^n/(1-x^2)^(k+1)*x^(2k-1)dx である(積分の経路は、複素平面上、反時計回りに原点をまわる小さな円)。 1/x=z と置換積分。 S={1/(2πi)}∮(z+1)^n/(z^2-1)^(k+1)*zdz 積分の経路は、反時計回りにまわる大きな円。 (z+1)^n/(z^2-1)^(k+1)*z=(z+1)^(n-k-1)/(z-1)^(k+1)*z なので、極は z=1 のみ。見やすいように z-1=u と置き換えると、 (u+2)^(n-k-1)*{(u+2)-1}/u^(k+1)={(u+2)^(n-k)-(u+2)^(n-k-1)}/u^(k+1) であり、分子を展開して、1/u の係数を調べることから、留数は、 C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1) とわかる。 ∴ S=C[n-k,k]*2^(n-2k)-C[n-k-1,k]*2^(n-2k-1)