質問＜５３１＞２００１／６／２６
from=３年１０組１２番
「複素数平面」

複素数平面上の原点０を中心とする同一円周上に、
4点z1＝－1＋√３ｉ、z2、z3、z4がある。
z1、z2、z3、z4の偏角を順に、θ1、θ2、θ3、θ4
(ただし、－180°≦θi＜180°(i＝1,2,3,4））
とする。このとき、θn+1＝kθn(ｎ＝1,2,3）が
成り立つ。ただし、kは有理数である。

(1）|z1|、θ1を求めよ。

(2)3つの複素数の積z1z2z3をkを含む極形式で表せ。

(3）3つの複素数の積z1z2z3が純虚数となるとき、
　　kの値を求めよ。また、z4をｐ+ｑi(ｐ、ｑは実数）
　　の形で表せ。　

お返事２００１／６／２７
from=武田

ｚ１＝－１＋√３ｉ＝２（cos１２０°＋ｉsin１２０°）

問１
｜ｚ１｜＝２、θ１＝１２０°

問２
ｚ２＝２（cos１２０°ｋ＋ｉsin１２０°ｋ）
ｚ３＝２（cos１２０°ｋ2 ＋ｉsin１２０°ｋ2 ）

ｚ１ｚ２ｚ３＝２3 ｛cos１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）＋ｉsin１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）｝

問３
純虚数より、cos１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）＝０
－１８０°≦θ＜１８０°
１２０°（１＋ｋ＋ｋ2 ）＝±９０°
４（１＋ｋ＋ｋ2 ）＝±３
４ｋ2 ＋４ｋ＋１＝０または４ｋ2 ＋４ｋ＋７＝０
ｋは有理数より、
　　　　１
∴ｋ＝－─
　　　　２

したがって、
ｚ１＝２（cos１２０°＋ｉsin１２０°）＝－１＋√３ｉ
ｚ２＝２｛cos（－６０°）＋ｉsin（－６０°）｝＝１－√３ｉ
ｚ３＝２（cos３０°＋ｉsin３０°）＝√３＋ｉ
したがって、
ｚ４＝２｛cos（－１５°）＋ｉsin（－１５°）｝
　　＝２（cos１５°－ｉsin１５°）
　　　　　√６＋√２　　√６－√２
　　＝２（─────－ｉ─────）
　　　　　　　４　　　　　　４

　　　√６＋√２　　√６－√２
　　＝─────－ｉ─────　……（答）
　　　　　２　　　　　　２