質問＜５３５＞２００１／６／２７
from=Tetsuya
「２重積分」

毎回お世話になってます。
また二重積分なのですがよろしくお願いします。

∫∫D  {x^3/√(x^2+y^2)}dxdy　　

D: 1≦x^2+y^2≦4  x≧0
Dは積分範囲

お返事２００１／６／３０
from=武田

領域Ｄは下図の赤色の部分になる。


　　　　　　ｘ3 
∫∫────────ｄｘｄｙ
Ｄ1　√（ｘ2 ＋ｙ2 ）

ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθと変数変換すると、
ｄｘｄｙ＝ｒｄｒｄθ
√（ｘ2 ＋ｙ2 ）＝ｒ
ｘ≧０より、cosθ≧０、したがって、－π／２≦θ≦π／２
１≦ｒ2 ≦４より、１≦ｒ≦２

π/2　　２　（ｒcosθ）3 
∫　　∫　───────・ｒｄｒｄθ
-π/2　１　　　　ｒ

　π/2　　　２
＝∫　ｄθ・∫　ｒ3 cos3 θｄｒ
　-π/2　　　１

　π/2　　　　　ｒ4 　　　　２
＝∫　ｄθ・［───cos3 θ］
　-π/2　　　　　４　　　　　１

　π/2　１６－１
＝∫　　────cos3 θｄθ
　-π/2　　４

　１５　π/2
＝──・∫　（１－sin2 θ）cosθｄθ
　　４　-π/2

　１５　　１
＝──・∫　（１－ｔ2 ）ｄｔ
　　４　－１

　１５　　　　ｔ3 　１
＝──・［ｔ－──　］
　　４　　　　　３　－１

　１５　　　　１　　　１
＝──・（１－─＋１－─）
　　４　　　　３　　　３

　１５　　　　２　　１５　４
＝──・（２－─）＝──・─＝５……（答）
　　４　　　　３　　　４　３