質問<546>2001/7/1
積分範囲は0からaまでです。 ∫x√(2ax-x^2)dx よろしくお願いします。
お返事2001/7/5
from=武田
√(2ax-x2 )=tとおくと、 2乗して、 2ax-x2 =t2 x2 -2ax+t2 =0 x=a±√(a2 -t2 ) (2a-2x)dx=2tdt 2t dx=──────dt 2a-2x t =───dt a-x -t =─────────dt ±√(a2 -t2 ) x|0─→a ────── t|0─→a a a -t ∫x√(2ax-x2 )dx=∫{a±√(a2 -t2 )}t─────────dt 0 0 ±√(a2 -t2 ) a -at2 a =∫ ─────────dt-∫t2 dt=※ 0 ±√(a2 -t2 ) 0 t=acosθとおくと、dt=-asinθdθ t|0─→a ────── θ|π/2→0 0 -a・a2 cos2 θ a3 ※=∫ ─────────(-asinθ)dθ-─── π/2 ±asinθ 3 0 a3 =±a3 ∫ cos2 θdθ-── π/2 3 0 1+cos2θ a3 =±a3 ∫ ──────dθ-── π/2 2 3 1 sin2θ 0 a3 =±a3 [─θ+────] -─── 2 4 π/2 3 π a3 =±a3 (-─ )-── 4 3 a3 =-──(4±3π) ……(答) 12