質問＜５５６＞２００１／７／７
from=yoshi
「曲線に引ける接線の本数」

　　　　　　4ｘ
曲線ｙ＝─────　に点（0,a）から何本の接線が引けるか、
　　　　　ｘ2+1
定数aの値によって分類せよ。
　　
明日までにお願いします。

お返事２００１／７／１１
from=武田

　　　４ｘ
ｙ＝────　のグラフは、微分の増減表より、
　　ｘ2 ＋１

　　　４（ｘ2 ＋１）－４ｘ・２ｘ　－４ｘ2 ＋４
ｙ′＝─────────────＝───────
　　　　　（ｘ2 ＋１）2 　　　　　（ｘ2 ＋１）2 

　　　－４（ｘ2 －１）
　　＝────────
　　　（ｘ2 ＋１）2 

ｙ′＝０より、ｘ＝±１
増減表は、
ｘ　｜…………｜－１｜…………｜１｜…………
──────────────────────
ｙ′｜　－　　｜　０｜　＋　　｜０｜　－　　
──────────────────────
ｙ　｜　減少　｜－２｜　増加　｜２｜　減少　

　　　　　　　　　　　　　　　　　４
　　　　　　　　　　　　　　　　───
　　　　　　４ｘ　　　　　　　　　ｘ
ｌｉｍ　─────＝ｌｉｍ　───────
ｘ→±∞　ｘ2 ＋１　ｘ→±∞　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　１＋────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ2 

　　　　　　０
　　　＝─────＝０（ｘ軸に限りなく近づく）
　　　　　１＋０



このグラフ上の任意の点（ｂ，ｆ（ｂ））をとると、
　　　　　　　４ｂ
ｆ（ｂ）＝──────
　　　　　　ｂ2 ＋１

この点における接線の方程式は

ｙ－ｆ（ｂ）＝ｆ′（ｂ）（ｘ－ｂ）より、

この接線が点（０，ａ）を通るから、

ａ－ｆ（ｂ）＝ｆ′（ｂ）（０－ｂ）

ａ＝ｆ（ｂ）－ｂ・ｆ′（ｂ）

　　　４ｂ　　　　－４（ｂ2 －１）
　＝────－ｂ・───────
　　ｂ2 ＋１　　　（ｂ2 ＋１）2 

　　４ｂ3 ＋４ｂ＋４ｂ3 －４ｂ
　＝─────────────
　　　　（ｂ2 ＋１）2 

　　　　８ｂ3 
　＝──────
　　（ｂ2 ＋１）2 

これを２つの関数に分けてグラフを書き、交点の数を調べると、
｛ｙ＝ａ
｛
｛　　　　８ｂ3 
｛ｙ＝────────
｛　　（ｂ2 ＋１）2 

　　　－８ｂ2 （４ｂ2 －３）
ｙ′＝───────────
　　　　（ｂ2 ＋１）3 

　　　　　　　　　　　　　　　　√３
ｙ′＝０より、ｂ＝０（重解），±──　
　　　　　　　　　　　　　　　　　２

ｂ　｜……｜－√３／２｜……｜０｜……｜√３／２｜……
───────────────────────────
ｙ′｜　－｜　０　　　｜　＋｜０｜　＋｜　０　　｜　－
───────────────────────────
ｙ　｜減少｜－48√3/49｜増加｜０｜増加｜48√3/49｜減少

この増減表に基づきグラフを書き、ｙ＝ａ（水平線）との交点を
数えて分類すると、



　　４８√３
ａ＞────のとき、接線は０本
　　　４９

　　４８√３
ａ＝────のとき、接線は１本
　　　４９

４８√３
────＞ａ＞０のとき、接線は２本
　４９

ａ＝０のとき、接線は１本

　　　　　４８√３
０＞ａ＞－────のとき、接線は２本
　　　　　　４９

　　　４８√３
ａ＝－────のとき、接線は１本
　　　　４９

　　　４８√３
ａ＜－────のとき、接線は０本
　　　　４９