質問＜５６３＞２００１／７／１１
from=ハム太郎
「三角関数の積分」

はじめまして、某高校に通う３年生です。
この間学校の先生から出されましたが、どうしても解けない問題があり
困っております。

第１問

∫sinx / 1+sinx dx

第２問

 x^3
∫   f(t)dtを微分せよ
 x

このようなＨＰがあり、本当に助かりました。
どうかよろしくお願いいたします。

お返事２００１／７／１２
from=武田

問１
　　sinｘ
∫─────ｄｘ
　１＋sinｘ

　　ｘ　　　　　　　　　　　　２ｔ　　　　　　１－ｔ2 
tan──＝ｔとおくと、sinｘ＝────、cosｘ＝─────
　　２　　　　　　　　　　　１＋ｔ2 　　　　　１＋ｔ2 

ｄｘ　　２
──＝────
ｄｔ　１＋ｔ2 

したがって、
　　　　　　　　　　　　２ｔ
　　　　　　　　　　　─────
　　sinｘ　　　　　　　１＋ｔ2 　　　　２
∫─────ｄｘ＝∫───────・─────ｄｔ
　１＋sinｘ　　　　　　　２ｔ　　　　１＋ｔ2 
　　　　　　　　　　１＋────
　　　　　　　　　　　　１＋ｔ2 

　　　　　　　　　　４ｔ
　　　＝∫───────────────ｄｔ
　　　　　（１＋ｔ2 ）（１＋２ｔ＋ｔ2 ）

　　　　　　　　　１　　　　　１
　　　＝２∫（────－───────　）ｄｔ
　　　　　　　１＋ｔ2 　１＋２ｔ＋ｔ2 

　　　　　　　　　　　　（１＋ｔ）-2+1
　　　＝２tan-1ｔ－２・────────＋Ｃ
　　　　　　　　　　　　－２＋１

　　　　　　　　　　ｘ　　　２
　　　＝２tan-1（tan─）＋───＋Ｃ
　　　　　　　　　　２　　１＋ｔ

　　　　　　ｘ　　　　２
　　　＝２（─）＋──────＋Ｃ
　　　　　　２　　　　　　ｘ
　　　　　　　　　１＋tan──
　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　　　２
　　　＝ｘ＋──────＋Ｃ　……（答）
　　　　　　　　　　ｘ
　　　　　　１＋tan──
　　　　　　　　　　２

問２
ｘ3 
∫　ｆ（ｔ）ｄｔ
ｘ

　　　　　　ｘ3 
＝［Ｆ（ｔ）］
　　　　　　ｘ

＝Ｆ（ｘ3 ）－Ｆ（ｘ）

微分して、ｘ3 ＝ｙとおくと、

　ｄ
──｛Ｆ（ｘ3 ）－Ｆ（ｘ）｝
ｄｘ

　ｄｙ　　ｄ　　　　　　ｄ
＝──・──Ｆ（ｙ）－──Ｆ（ｘ）
　ｄｘ　ｄｙ　　　　　ｄｘ

＝３ｘ2 ・ｆ（ｙ）－ｆ（ｘ）

＝３ｘ2 ・ｆ（ｘ3 ）－ｆ（ｘ）……（答）