質問<568>2001/7/13
問1 関数f(x)を次のように定義する。f(x)=sinx/x(x≠0)、f(x)=1(x=0) このとき、f(x)のx=0における微分係数f ’(0)の値を求めよ。 問2 方程式 xのa乗=aのx乗…① の正の解は、方程式logx/x=loga/a…② の正の解と一致することを利用して、①の正の解の個数を調べ、正数aの 値によって分類して答えよ。 答えは (a=(0)のとき、正の解の個数は0個)、(0<a≦1,a=eのとき、正の解の 個数は1個),(1<a<e,e<aのとき、正の解の個数は2個)となるようなので すが、お願いします。
お返事2001/7/28
from=武田
未解決問題に移しました。 すぐにd3さんからアドバイスをいただき、解決しました。 感謝!
お便り2001/7/29
from=d3
問1 x≠0で,x→0のとき,f(x)→1=f(0)から,x=0で連続です. {f(x)-f(0)}/(x-0)=(sinx/x-1)/x=(sinx-x)/x^2 ここでx>0でg(x)=x^3+6(sinx-x)を考えます. g’(x)=3x^2+6(cosx-1) g’’(x)=6x-6sinx g’’’(x)=6-6cosx≧0 g’’(x)≧g’’(0)=0 g’(x)≧g’(0)=0 g(x)≧g(0)=0 g(x)は奇関数ですので,x≠0で │sinx-x│≦│x^3│ │(sinx-x)/x^2│≦│x│ x→0のとき,│x│→0なので, {f(x)-f(0)}/(x-0)→0 微分係数は存在して,f ’(0)=0となります. 問2 方程式 xのa乗=aのx乗…① の正の解は、方程式logx/x=loga/a…② の正の解と一致することを利用して、①の正の解の個数を調べ、正数aの 値によって分類して答えよ。 答えは (a=(0)のとき、正の解の個数は0個)、(0<a≦1,a=eのとき、正の解の 個数は1個),(1<a<e,e<aのとき、正の解の個数は2個)となるようなので すが、お願いします。 ①から②は,①の両辺の対数をとれば出てくるのでいいでしょう f(x)=logx/x(0<x)とおきます. f’(x)=(1-logx)/x^2 したがって,x=eで極大をとります. また,x<eで増加,e<xで減少です. さらに,x→+0のとき,f(x)→-∞で, x→∞のとき,f(x)→+0です. (この後半の極限は, 4<xで,g(x)=√x-logxを考えると, g’(x)=(√x-2)/2x>0から, 0<logx/x<1/√x で, ハサミウチの原理からわかります) 方程式logx/x=loga/a は,f(x)=f(a)なので, (グラフをかいて示せば,) 0<a≦1,a=eのとき、正の解の個数は1個 1<a<e,e<aのとき、正の解の個数は2個 となります.