質問＜５６８＞２００１／７／１３
from=yoshi
「微分係数　方程式」

問１

関数f(x)を次のように定義する。f(x)=sinx/x(x≠0)、f(x)=1(x=0)
このとき、f(x)のx=0における微分係数f ’(0)の値を求めよ。

問２

方程式　ｘのa乗＝aのｘ乗…①　の正の解は、方程式logx/x=loga/a…②
の正の解と一致することを利用して、①の正の解の個数を調べ、正数aの
値によって分類して答えよ。
答えは
（a=（0）のとき、正の解の個数は0個）、(0＜a≦1,a=eのとき、正の解の
個数は1個),(1＜a＜e,e＜aのとき、正の解の個数は2個)となるようなので
すが、お願いします。

お返事２００１／７／２８
from=武田

未解決問題に移しました。
すぐにｄ３さんからアドバイスをいただき、解決しました。
感謝！

お便り２００１／７／２９
from=ｄ３

問１
x≠0で，x→0のとき，f(x)→1＝f(0)から，x＝0で連続です．
｛f(x)－f(0)｝/(x－0)＝（sinx/x－1)/x＝（sinx－x)/x^2
ここでx＞0でg(x)＝x^3+6(sinx－x)を考えます．
g’(x)＝3x^2+6(cosx－1)
g’’(x)＝6x－6sinx
g’’’(x)＝6－6cosx≧0
g’’(x)≧g’’(0)＝0
g’(x)≧g’(0)＝0
g(x)≧g(0)＝0
g(x)は奇関数ですので，x≠0で
│sinx－x│≦│x^3│
│（sinx－x)/x^2│≦│x│
x→0のとき，│x│→0なので，
｛f(x)－f(0)｝/(x－0)→0
微分係数は存在して，f ’(0)＝0となります．

問２
方程式　ｘのa乗＝aのｘ乗…①　の正の解は、方程式logx/x=loga/a…②
の正の解と一致することを利用して、①の正の解の個数を調べ、正数aの
値によって分類して答えよ。
答えは
（a=（0）のとき、正の解の個数は0個）、(0＜a≦1,a=eのとき、正の解の
個数は1個),(1＜a＜e,e＜aのとき、正の解の個数は2個)となるようなので
すが、お願いします。
①から②は，①の両辺の対数をとれば出てくるのでいいでしょう
f(x)＝logx/x(0＜x)とおきます．
f’(x)＝(1－logx)/x^2
したがって，x＝eで極大をとります．
また，x＜eで増加，e＜xで減少です．
さらに，x→+0のとき，f(x)→－∞で，
　　　　x→∞のとき，f(x)→+0です．
（この後半の極限は，
　4＜xで，g(x)＝√x－logxを考えると，
　g’(x)＝(√x－2)/2x＞0から，
  0＜logx/x＜1/√x で，
　ハサミウチの原理からわかります）
方程式logx/x=loga/a は，f(x)＝f(a)なので，
（グラフをかいて示せば，）
0＜a≦1,a=eのとき、正の解の個数は1個
1＜a＜e,e＜aのとき、正の解の個数は2個
となります．