質問＜５６９＞２００１／７／１３
from=３年１０組１２番
「積分法　微分法2題ほど」

問１

今日、Y軸の回りの回転体を求めるのに、
バームクーヘン分割という公式(?)を習いました。
これを知ってるとラクだから覚えろと言う事でしょうか、
でも、よく分からなかったので、詳しく解説していただけ
ないでしょうか？お願いします。

問２

①ｘ≠０に対し、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

　　　ｃｏｓ^2ｘ＋２ｃｏｓｘ＞３－２ｘ^2

②微分可能な関数ｆ(x）がｆ(1)＝２であるとき　　　　　　　　１　　√ｘ
　　　ｌｉｍ　―――∫　　ｆ(t^2）ｄｔ
　　　　x→1　ｘ－１　１
　の値を求めよ。

お返事２００１／７／１４
from=武田

問１
ｙ軸の回りの回転体の体積を求めるとき使われるのが、通称バームクー
ヘン分割と呼ばれる公式です。



図の水色の部分を回転２πｘすると、バームクーヘンができる。
したがって、
　　　ｂ
Ｖy＝∫　２πｘ・ｙｄｘ
　　　ａ


問２
①
cos2 ｘ＋２cosｘ＞３－２ｘ2 を証明するためには、
cos2 ｘ＋２cosｘ－３＞－２ｘ2 が成り立つことだから、
｛ｙ＝cos2 ｘ＋２cosｘ－３
｛ｙ＝－２ｘ2 
のグラフを比べればよい。



０＜ｘ＜πのとき、赤色が青色より上にあることを言えばよい。
２つのグラフを微分して、
ｙ′＝２cosｘ（－sinｘ）＋２（－sinｘ）
　　＝－２sinｘ（cosｘ＋１）
ｙ′＝－４ｘ
－１≦cosｘ≦１より、cosｘ＋１≧０
sinｘ＜ｘより、sinｘ＜２ｘ
－２sinｘ＞－４ｘ
したがって、
－２sinｘ（cosｘ＋１）＞－４ｘ
赤色の接線お傾きより、青色の接線の傾きの方がマイナスで急だから
２つのグラフは必ず
cos2 ｘ＋２cosｘ－３＞－２ｘ2 となる。

②
ド・ロピタルの定理より、

　　　　√ｘ　　　　　　　　　　　　ｄ　√ｘ
　　　　∫　ｆ（ｔ2 ）ｄｔ　　　　──　∫　ｆ（ｔ2 ）ｄｔ
　　　　１　　　　　　　　　　　　ｄｘ　１
ｌｉｍ　─────────＝ｌｉｍ────────────
ｘ→１　　　　ｘ－１　　　　ｘ→１　　　（ｘ－１）′

　　　　　　　ｆ（ｘ）
　　　＝ｌｉｍ────＝ｆ（１）＝２　……（答）
　　　　ｘ→１　１