質問

(1)ｚが虚数でｚ+１/zが実数のとき、│z│の値ａを求めよ

(2)（1)で求めたａに対して、zが条件│z│＝ａを満たしながら動くとき、
ｗ＝(z＋√2＋√2ｉ)^4の絶対値と偏角の動く範囲を求めよ。　

よろしくお願いします。

お返事２００１／８／１３
from=武田

問１
ｚ＝ｘ＋ｙｉとすると、

１　　１　　　ｘ－ｙｉ
―＝――――＝―――――
ｚ　ｘ＋ｙｉ　ｘ²＋ｙ²

　　１　　　　　　　　　　　ｙ
ｚ＋―が実数だから、ｙ－―――――＝０より、
　　ｚ　　　　　　　　　ｘ²＋ｙ²

∴ｘ²＋ｙ²＝１

｜ｚ｜＝√（ｘ²＋ｙ²）＝√１＝１
∴ａ＝１………（答）

問２
｜ｚ｜＝ａ＝１は、半径１の円上の複素数ｚだから、
ｗ＝（ｚ＋√２＋√２ｉ）⁴
目盛りを±１００の範囲で、ｗの描くグラフを書くと、
次のようになった。



しかし、これからｗの絶対値と偏角の範囲はどうしたものか？

※未解決問題に移した瞬間に、ｄ３さんからアドバイスが届きました。
感謝！！

お便り２００１／８／１３
from=ｄ３

3年10組12番さん「複素数平面」の解答です．

(1)
z＝r(cosΘ+ｉsinΘ)　（r＞0）とします．
ｚ+１/zの虚数部分＝(r－1/r)sinΘ
ここで，ｚが虚数なので，sinΘ≠0から，r－1/r＝0．
よって，r＞0から，r＝1，すなわち，│z│の値a＝1．
（z＝0は明らかに条件を満たしません）
(2)
ここで，│z│＝1は，原点中心，半径1の円です．
z＋√2＋√2ｉ＝vは，
この円上の点zを平行移動（√2＋√2ｉを加える）した点で，
│v－（√2＋√2ｉ）│＝1を表します．
この円の中心（√2＋√2ｉ）と原点との距離は2，
半径は1ですので，また（√2＋√2ｉ）の偏角が45度なので，
15度≦arg(v)≦75度，1≦│v│≦3　
（平面上に点と円をかくとわかりやすいです．）
ｗ＝(z＋√2＋√2ｉ)^4の絶対値と偏角の動く範囲は，　
60度≦arg(w)≦300度，1≦│w│≦81
となります．