質問＜６０７＞２００１／８／２０
from=シュカ
「論証」

＜1＞次の問に答えよ。
（1）命題(Ａ)｢kが－1≦k≦1を満たすならば、
円X^2＋ｙ^2＝1と直線ｙ=－X＋kは相異なる2つの交点をもつ」の逆を
述べよ。
更に、命題(A）とその逆について、真偽を調べ、真であれば証明し、
偽であれば反例をあげよ。

よろしくお願いします

お返事２００１／８／２２
from=武田

命題（Ａ）「－１≦ｋ≦１ならば、円ｘ2 ＋ｙ2 ＝１と直線ｙ＝－ｘ＋ｋと
の交点は２つある」


この命題（Ａ）の逆は、「円ｘ2 ＋ｙ2 ＝１と直線ｙ＝－ｘ＋ｋと
の交点は２つあるならば、－１≦ｋ≦１となる」………（答）

命題（Ａ）は、ｐ：－１≦ｋ≦１で、
ｘ2 ＋ｙ2 ＝１とｙ＝－ｘ＋ｋより代入して、
ｘ2 ＋（－ｘ＋ｋ）2 ＝１
２ｘ2 －２ｋｘ＋（ｋ2 －１）＝０
交点が２つある判別式はＤ＞０より、
Ｄ／４＝ｋ2 －２（ｋ2 －１）＞０
ｋ2 －２＜０
∴－√２＜ｋ＜√２
したがって、ｑ：－√２＜ｋ＜√２
集合Ｐ＝｛ｋ｜－１≦ｋ≦１｝と集合Ｑ＝｛ｋ｜－√２＜ｋ＜√２｝より、
Ｐ⊂Ｑだから、ＰはＱの部分集合となる。
したがって、命題ｐ―→ｑは、Ｐ⊂Ｑのとき真となるので、この命題（Ａ）
は真となる。………（答）

命題（Ａ）の逆ｑ―→ｐは、反例を示して偽となることをいう。
ｑ：－√２＜ｋ＜√２の中のｋ＝1.2をとると、
ｐ：－１≦ｋ≦１の中には入らないから、
命題（Ａ）の逆ｑ―→ｐは、Ｑ⊂Ｐとならないので、
これは偽となる。………（答）