質問＜６１６＞２００１／８／２６
from=yuasa
「二重積分」

１　１　＿＿＿＿
∫｛∫√ｙ２＋１ｄｙ｝ｄｘ　
０　ｘ

答えは　１　 　＿
　　　　―(２√２　－１)
　　　　３

なのですが、できません。
ｙ２はｙの２乗です。

お返事２００１／８／２９
from=武田

１　１
∫｛∫√（ｙ2 ＋１）ｄｙ｝ｄｘ　
０　ｘ

   1      1                                              1
＝∫dx・［―｛y√（y2 ＋1）＋1・log｜y＋√（y2 ＋1）｜｝］
   0      2                                              x

   1      1                         1
＝∫dx・［―（√2＋log｜1＋√2｜）－―｛x√（x2 ＋1）＋log｜x＋√（x2 ＋1）｜｝］
   0      2                         2

   1  1                         1
＝∫［―（√2＋log｜1＋√2｜）－―｛x√（x2 ＋1）＋log｜x＋√（x2 ＋1）｜｝］dx
   0  2                         2

　　（注１）∫３ｘ√（ｘ2 ＋１）ｄｘ＝√（ｘ2 ＋１）3 ＋Ｃ

　　（注２）∫log｜ｘ＋√（ｘ2 ＋１）｜ｄｘ＝ｘlog｜ｘ＋√（ｘ2 ＋１）｜－√（ｘ2 ＋１）＋Ｃ

    x                         1   1                                                         1
＝［―（√2＋log｜1＋√2｜）－―｛―√（x2 ＋1）3 ＋x・log｜x＋√（x2 ＋1）｜－√（x2 ＋1）｝］
    2                         2   3                                                         0

  1                         1   1                               1  1
＝―（√2＋log｜1＋√2｜）－―（―・2√2＋log｜1＋√2｜－√2）＋―(―－1)
  2                         2   3                               2  3

　√２　１　　　　　　　　　√２　　１　　　　　　　　　√２　１
＝――＋―log｜１＋√２｜－―――－――log｜１＋√２｜＋――－―
　２　　２　　　　　　　　　３　　　２　　　　　　　　　２　　３

　２　　　１　２√２－１
＝―√２－―＝―――――　………（答）
　３　　　３　　　３