質問＜６１７＞２００１／８／２７
from=未熟な人
「微分と積分の関係」

積分は微分の反対の計算というのはどのように証明すれば
良いのでしょうか？

お返事２００１／８／２９
from=武田

定積分
　ｘ
∫　ｆ（ｔ）ｄｔ＝ψ（ｘ）とおく。
　ａ

　　　　　　　　　　　　　　ｘ＋Δｘ　　　　　ｘ
ψ（ｘ＋Δｘ）－ψ（ｘ）＝∫　ｆ（ｔ）ｄｔ－∫　ｆ（ｔ）ｄｔ
　　　　　　　　　　　　　　ａ　　　　　　　　ａ

　　　　　　　　　　　　　　ｘ　　　　　　　　ｘ＋Δｘ　　　　　ｘ
　　　　　　　　　　　　＝∫　ｆ（ｔ）ｄｔ＋∫　ｆ（ｔ）ｄｔ－∫　ｆ（ｔ）ｄｔ
　　　　　　　　　　　　　　ａ　　　　　　　　ｘ　　　　　　　　ａ

　　　　　　　　　　　　　　ｘ＋Δｘ
　　　　　　　　　　　　＝∫　ｆ（ｔ）ｄｔ
　　　　　　　　　　　　　　ｘ

　　　　　　　　　　　　＝Δｘ・ｆ（ｘ＋θ・Δｘ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし、０＜θ＜１）

　　　　ψ（ｘ＋Δｘ）－ψ（ｘ）
ｌｉｍ　――――――――――――＝ｌｉｍ　ｆ（ｘ＋θ・Δｘ）
Δｘ→０　　　　　Δｘ　　　　　　Δｘ→０

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｆ（ｘ）

したがって、
　ｄ
――ψ（ｘ）＝ｆ（ｘ）
ｄｘ

　ｄ　ｘ
――∫　ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）
ｄｘ　ａ

関数ｆ（ｔ）の積分そして微分は、関数ｆ（ｘ）となるので、
積分と微分は反対の計算であることが言える。