質問＜６２＞９８／１０／３
from=直信
「面積の三等分」

武田さんのホームぺージを拝見しました。参考になることが
多く、見やすいぺージでよかったと思います。さて、早速私
も質問があります。

    直線 ｙ＝ax(a＞0)と放物線ｙ＝ｘ２（ｘの二乗）－ｘで
    囲まれた部分の面積がｘ軸と直線ｙ＝ｂｘ（ｂ＜０）と
    によって3等分されるように、定数ａ、ｂの値を定めよ。  

という問題がわからないのです。お忙しいでしょうが、ぜひ
解答、解説などをおねがいします。

お返事９８／１０／３
from=武田

次の図のようになりますが、最初にＳ1とＳ2を積分で
求めましょう。

点Ａのｘ座標は次の連立を解きます。
｛　ｙ＝ｘ2－ｘ
｛　ｙ＝ｂｘ　（ｂ＜０）
∴ｘ＝１＋ｂ
点Ｂのｘ座標は次の連立を解きます。
｛　ｙ＝ｘ2－ｘ
｛　ｙ＝ａｘ　（ａ＞０）
∴ｘ＝１＋ａ

次に積分で面積を計算すると、
Ｓ1＋Ｓ2
＝－∫01（ｘ2－ｘ）ｄｘ
＝－〔ｘ3／３－ｘ2／２〕01
＝１／６
三等分の内、二等分に当たるので
Ｓ1＝Ｓ2＝１／１２

まずＳ1を積分で求めると、
Ｓ1
＝∫01+b｛ｂｘ－（ｘ2－ｘ）｝ｄｘ
＝〔－ｘ3／３＋（１＋ｂ）ｘ2／２〕01+b
＝（１＋ｂ）3／６
＝１／１２より、
∴ｂ＝－１＋（3√４）／２

Ｓ3も三等分の一つだから、
Ｓ3＝１／１２
積分の計算をすると、
Ｓ3
＝ａ／２＋∫11+a｛ａｘ－（ｘ2－ｘ）｝ｄｘ
＝ａ／２＋〔－ｘ3／３＋（１＋ａ）ｘ2／２〕11+a
＝ａ／２＋（１＋ａ）3／６－（１＋ａ）／２＋１／３
＝－１／６＋（１＋ａ）3／６
＝１／１２より、
∴ａ＝－１＋（3√１２）／２