質問＜６３３＞２００１／９／１４
from=あっきー
「楕円の重心」

楕円の重心の求め方がわかりません。

できるだけ早く教えてください。

お返事２００１／９／１９
from=武田

楕円や円など、全体だと、重心は中心になります。
たぶん、半楕円の重心のことを言っているのだと思い、
計算してみました。

二重積分で求めます。
　　　＿　＿
Ｇ’（ｘ，ｙ）は、平面図形の範囲をＤ、面積をＭとすると、
＿
ｘ＝∫∫　ｘ　ｄｘｄｙ　／Ｍ
　　　Ｄ
＿
ｙ＝∫∫　ｙ　ｄｘｄｙ　／Ｍ
　　　Ｄ
ただし
Ｍ＝∫∫　ｄｘｄｙ
　　　Ｄ

さて質問の半楕円の重心は、半楕円周の曲線の方程式が
ｘ2 　ｙ2 
――＋――＝１より、
ａ2 　ｂ2 

　　ｂ
ｙ＝―√（ａ2 －ｘ2 ）
　　ａ
－ａ≦ｘ≦ａということで計算してみた。
面積Ｍ＝∫∫　ｄｘｄｙ
　　　　　Ｄ
　x=ａ　　　y=(b/a)√（ａ2－ｘ2）
＝∫　ｄｘ　∫　ｄｙ
　x=-a　　　y=0

　ａ　ｂ
＝∫　―√（ａ2－ｘ2）ｄｘ
　-a　ａ

　π/2　　ｂ
＝∫　　――・ａcosθ・ａcosθｄθ
　-π/2　ａ

　　　π/2
＝ａｂ∫cos2 θｄθ
　　　-π/2

　　　π/2　１＋cos２θ
＝ａｂ∫　　――――――ｄθ
　　　-π/2　　　２

　　　　　θ　sin２θ　π/2
＝ａｂ［――＋――――］
　　　　　２　　４　　-π/2

　　　　　π　　　　　　π
＝ａｂ｛（―＋０）－（－―＋０）｝
　　　　　４　　　　　　４

　πａｂ
＝―――
　　２

半楕円の面積は二重積分を使わなくても簡単に出せましたね。
重心は
＿　　　　　＿
ｘ＝０より、ｙだけを計算すればよい。
＿
ｙ＝∫∫　ｙ　ｄｘｄｙ　／Ｍ
　　　Ｄ

　x=ａ　　　y=(b/a)√（ａ2－ｘ2）
＝∫　ｄｘ　∫　ｙｄｙ　／Ｍ
　x=-a　　　y=0

　ａ　ｂ2 
＝∫　―――（ａ2－ｘ2）　ｄｘ　／Ｍ
　-a　２ａ2 

　　ｂ2 　　　　　　ｘ3 　ａ
＝――――［ａ2 ｘ－――］
　２ａ2 Ｍ　　　　　３　　-a

　　ｂ2 　　４ａ3
＝――――・―──
　２ａ2 Ｍ　　３

　４ｂ
＝──
　３π

したがって、
　　　　　　４ｂ
重心Ｇ（０，――）……（答）
　　　　　　３π