質問＜６３８＞２００１／９／１８
from=ピカリン
「不等式」

はじめまして。つぎの不等式の証明がわかりません。
どうかおしえてください。
a≧2 b≧2 c≧2 d≧2 のとき、
abcd>a+b+c+d であることを、証明せよ。

お返事２００１／９／２６
from=武田

苦労しました。分かってしまえば簡単ですが………！？

与式＝左辺－右辺
　　＝ａｂｃｄ－（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）

　　　　　１
　　＝４（―ａｂｃｄ）－（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）
　　　　　４

　　　　１　　　　　　　１　　　　　　　１　　　　　　　１
　　＝（―abcd－ａ）＋（―abcd－ｂ）＋（―abcd－ｃ）＋（―abcd－ｄ）
　　　　４　　　　　　　４　　　　　　　４　　　　　　　４

　　　１　　　　　　１　　　　　　１　　　　　　１
　　＝―a(bcd－４)＋―b(acd－４)＋―c(abd－４)＋―d(abc－４)
　　　４　　　　　　４　　　　　　４　　　　　　４

a≧2 b≧2 c≧2 d≧2 より、
bcd≧８＞４
acd≧８＞４
abd≧８＞４
abc≧８＞４

したがって、
与式＞０

∴abcd＞a+b+c+d