質問＜６４３＞２００１／９／２３
from=バナナ
「数列」

＜1＞第6項が17、初項から第6項までの和が57の等差数列がある。この
とき、初項aと公差dを求めよ。また、この数列の初項から第20項までの和は？

＜2＞初項a、公差dである等差数列のはじめのn項和をSn。
S6＝－315、S20＝－350のとき、a＝□、d＝□で、一般項は？また、和Sn
を最小にするnの値はn＝□または□であり、その時の最小値は？
ただし、□＜□とする

＜3＞積が125である3つの数a，b，cがある。これらの3つの数をa，b，c
の順に並べると等差数列になり、b，c，aの順に並べると等比数列になる。
この時、a，b，cは？

＜4＞(1)数列{an}:1，4，10，19，31，46，･･･の階差数列を{bn}とすると、
bnは？したがって、ａnは？
また、数列{ａn}の初めのn項の和をSnとするとSnは？

お願いします。

お便り２００１／９／２８
from=Hoshino

（１）
求める数列を {a_n} と置く。
a_n = a + d(n - 1),
S_n = n(2a + d(n - 1))/2.
題意より
a_6 = a + 5d = 17,
S_6 = 3(2a + 5d) = 57 (⇔2a + 5d = 19).
解いて a = 2, d = 3.
S_20 = 20(4 + 3×19)/2 = 10×61 = 610.

（２）
S_6 = 3(2a + 5d) = -315, (⇔2a + 5d = -105)
S_20 = 10(2a + 19d) = -350 (⇔2a + 19d = -35)
14 d = 70 故に d = 5.
2a + 25 = -105 故に 2a = -130 即ち a = -65.
よって一般項 a_n = -65 + 5(n - 1) = 5n - 70.
S_n = n(-130 + 5(n - 1))/2
= (5/2)(n^2 - 27n) = (5/2)((n - 27/2)^2 - 27^2/4)
従って, n = 13, 14 のとき最小値。
S_13 = 13×(-130 + 5×12)/2 = 13×(-130 + 60)/2
= 13×(-70)/2 = 13×(-35) = -455.

（３）
abc = 125, [1]
2b = a + c, [2]
c^2 = ab. [3]
[3] を [1] に代入
c^3 = 125. よって c = 5.
[1], [2] から
ab = 25,
2b = a + 5. (⇔a = 2b - 5)
下の式を上に代入して
(2b - 5)b = 25
2b^2 - 5b - 25 = 0.
(2b + 5)(b - 5) = 0.
b = 5, -5/2.
[b = 5 の場合]
a = b = c = 5.
[b = -5/2 の場合]
a = -10, b = -5/2, c = 5.

（４）
 b_n は 3, 6, 9, 12, 15, ...
よって
b_n = 3n.
a_n = a_1 + Σ_(k = 1)^(n-1) b_k
= 1 + Σ_(k = 1)^(n-1) 3k
= 1 + (3/2)n(n-1)
= (3n^2 - 3n + 2)/2.
S_n = Σ_(k = 1)^n (3k^2 - 3k + 2)/2
= n(n + 1)(2n + 1)/4 - 3n(n + 1)/4 + n
= ((n + 1)(2n + 1) - 3(n + 1) + 4)n/4
= (2n^2 + 2)n/4
= n(n^2 + 1)/2.