質問<643>2001/9/23
<1>第6項が17、初項から第6項までの和が57の等差数列がある。この とき、初項aと公差dを求めよ。また、この数列の初項から第20項までの和は? <2>初項a、公差dである等差数列のはじめのn項和をSn。 S6=-315、S20=-350のとき、a=□、d=□で、一般項は?また、和Sn を最小にするnの値はn=□または□であり、その時の最小値は? ただし、□<□とする <3>積が125である3つの数a,b,cがある。これらの3つの数をa,b,c の順に並べると等差数列になり、b,c,aの順に並べると等比数列になる。 この時、a,b,cは? <4>(1)数列{an}:1,4,10,19,31,46,・・・の階差数列を{bn}とすると、 bnは?したがって、anは? また、数列{an}の初めのn項の和をSnとするとSnは? お願いします。
お便り2001/9/28
from=Hoshino
(1) 求める数列を {a_n} と置く。 a_n = a + d(n - 1), S_n = n(2a + d(n - 1))/2. 題意より a_6 = a + 5d = 17, S_6 = 3(2a + 5d) = 57 (⇔2a + 5d = 19). 解いて a = 2, d = 3. S_20 = 20(4 + 3×19)/2 = 10×61 = 610. (2) S_6 = 3(2a + 5d) = -315, (⇔2a + 5d = -105) S_20 = 10(2a + 19d) = -350 (⇔2a + 19d = -35) 14 d = 70 故に d = 5. 2a + 25 = -105 故に 2a = -130 即ち a = -65. よって一般項 a_n = -65 + 5(n - 1) = 5n - 70. S_n = n(-130 + 5(n - 1))/2 = (5/2)(n^2 - 27n) = (5/2)((n - 27/2)^2 - 27^2/4) 従って, n = 13, 14 のとき最小値。 S_13 = 13×(-130 + 5×12)/2 = 13×(-130 + 60)/2 = 13×(-70)/2 = 13×(-35) = -455. (3) abc = 125, [1] 2b = a + c, [2] c^2 = ab. [3] [3] を [1] に代入 c^3 = 125. よって c = 5. [1], [2] から ab = 25, 2b = a + 5. (⇔a = 2b - 5) 下の式を上に代入して (2b - 5)b = 25 2b^2 - 5b - 25 = 0. (2b + 5)(b - 5) = 0. b = 5, -5/2. [b = 5 の場合] a = b = c = 5. [b = -5/2 の場合] a = -10, b = -5/2, c = 5. (4) b_n は 3, 6, 9, 12, 15, ... よって b_n = 3n. a_n = a_1 + Σ_(k = 1)^(n-1) b_k = 1 + Σ_(k = 1)^(n-1) 3k = 1 + (3/2)n(n-1) = (3n^2 - 3n + 2)/2. S_n = Σ_(k = 1)^n (3k^2 - 3k + 2)/2 = n(n + 1)(2n + 1)/4 - 3n(n + 1)/4 + n = ((n + 1)(2n + 1) - 3(n + 1) + 4)n/4 = (2n^2 + 2)n/4 = n(n^2 + 1)/2.