質問＜６４７＞２００１／９／２６
from=ＯＢＯ
「大学入試」
いきなり、もうしわけありません。
今年現役受験しようとしてる、H.高校の学生です。
教学社の赤本で、大阪大学後期がまだ発売されていなく解答がなくて
こまっています。
大阪大学後期問題
なんですけど、といてくれないでしょうか？
まったくわかりません。無理な頼みごとしてすみませんが、
どうかよろしくおねがいします。
お便り２００１／１０／１
from=ｄ３
点(2n+2，0)までくるには，
点(2n，0)から，∧（上がって下がる）とくるのと，
点(2n，2)から，＼（下がって下がる）とくるのがあります．
点(2n+2，2)までくるには，
点(2n，2)から，∧，∨とくるのと，
点(2n，0)から，／とくるのがあります．
よって，
a[n+1]＝a[n]＋b[n]
b[n+1]＝a[n]＋2b[n]
ここで，｛a[n]｝は，1，2，5，・・・
｛b[n]｝は，1，3，8，・・・です．
a[n+1]－tb[n+1]＝s｛a[n]－tb[n]｝として，
上の漸化式から，
｛s－(1－t)｝a[n]＝｛(１－2t)＋st｝b[n]
これが，n＝1,2,3で成り立つには，
s－(1－t)＝(１－2t)＋st＝0
逆にこのとき，すべての自然数nでなりたつので，
問題のように等比数列になります．
t^2＋t－1＝0を解いて，
t＝(－1±√5)/2となります．コレをα，β（α＜β）とすると，
s＝1－t＝t^2で，α＋β＝αβ＝－1を使って，
a[n+1]－αb[n+1]＝α^2｛a[n]－αb[n]｝から，
a[n]－αb[n]＝α^(2n－2)｛a[1]－αb[1]｝＝(1－α)α^(2n－2)＝α^(2n)
a[n+1]－βb[n+1]＝β^2｛a[n]－βb[n]｝から同様に，
a[n]－βb[n]＝β^(2n－2)｛a[1]－βb[1]｝＝(1－β)β^(2n－2)＝β^(2n)
したがって，
a[n]＝｛β^(2n－1)－α^(2n－1)｝/(β－α)
b[n]＝｛α^(2n)－β^(2n)｝/(β－α)
a[n]/b[n]＝｛β^(4n－1)－α^(2n－1)｝/｛α^(2n)－β^(2n)｝
分子分母にβ^(2n)をかけて，αβ＝－1を使って，0＜β＜1なので，
n→∞のとき，
a[n]/b[n]＝｛β^(2n－1)－1/α｝/｛1－β^(4n)｝→－1/α＝β
たぶん大丈夫だと思います．
お便り２００１／１０／１
from=Hoshino
(1)
a_(n+1) = a_n + b_n,
b_(n+1) = a_n + 2b_n.
(2)
a_(n+1) - tb_(n+1)
= a_n + b_n -t(a_n + 2b_n)
= (1 - t)a_n + (1 - 2t)b_n
= (1-t)(a_n + ((1-2t)/(1-t))b_n)
より
t = -(1-2t)/(1-t).
t(1-t) = 2t - 1.
t^2 + t - 1 = 0.
解の公式から
t = (-1±√5)/2.
(3) α, βを各々上の t の複号が + の方と - の方とする。
a_1 = b_1 = 1 より
a_(n+1) - αb_(n+1) = (1-α)(a_n + αb_n)
a_n - αb_n
= (1-α)^(n-1)(a_1 + αb_1)
= (1 + α)(1 - α)^(n-1).
同様に
a_n - βb_n = (1 + β)(1 - β)^(n-1).
辺々引くと
(α-β)b_n = (1 + β)(1 - β)^(n-1) - (1 + α)(1 - α)^(n-1).
例えばa_n - βb_n = (1 + β)(1 - β)^(n-1) に代入して
(α-β)a_n = α(1 + β)(1 - β)^(n-1) - β(1 + α)(1 - α)^(n-1).
(4) a_n/b_n
= [α(1 + β)(1 - β)^(n-1) - β(1 + α)(1 - α)^(n-1)]
/[(1 + β)(1 - β)^(n-1) - (1 + α)(1 - α)^(n-1)]
明らかに 1 - β > 1 - α > 0 より
a_n/b_n
= [α(1 + β) - β(1 + α)((1 - α)/(1 - β))^(n-1)]
/ [(1 + β) - (1 + α)((1 - α)/(1 - β))^(n-1)]
→ α(1 + β)/(1 + β) = α = (-1+√5)/2.
お返事２００１／１０／５
from=武田
問１
図より、
｛ａn+1 ＝ａn ＋ｂn
｛
｛ｂn+1 ＝ａn ＋２・ｂn ………（答）
問２
等比数列だから
ａn －ｔｂn ＝ｋ（ａn-1 －ｔｂn-1 ）
とおくと、上の問１より、
左辺＝（ａn-1 ＋ｂn-1 ）－ｔ（ａn-1 ＋２・ｂn-1 ）
＝（１－ｔ）ａn-1 ＋（１－２ｔ）ｂn-1
右辺＝ｋａn-1 －ｋｔｂn-1
したがって、
｛１－ｔ＝ｋ
｛１－２ｔ＝－ｋｔ
１－２ｔ＝－（１－ｔ）ｔ
ｔ2 ＋ｔ－１＝０
－１±√５
∴ｔ＝――――― ………（答）
２
問３
｛ａ1 ＝１
｛ｂ1 ＝１
｛ａn+1 ＝ａn ＋ｂn
｛
｛ｂn+1 ＝ａn ＋２・ｂn
（ａn+1 ） （１ １） （ａn ）
（ ）＝（ ）・（ ）
（ｂn+1 ） （１ ２） （ｂn ）
（１ １）n （ａ1 ）
＝（ ）・（ ）
（１ ２） （ｂ1 ）
（１ １）n （１）
＝（ ）・（ ）
（１ ２） （１）
したがって、
（ａn ） （１ １）n-1 （１）
（ ）＝（ ）・ （ ）
（ｂn ） （１ ２） （１）
（１ １）
Ａ＝（ ）とおいて、固有値λを求めると、
（１ ２）
（１－λ １ ）
Ａ－λＥ＝（ ）
（１ ２－λ）
｜Ａ－λＥ｜＝０
（１－λ）（２－λ）－１＝０
λ2 －３λ＋１＝０
３±√５
∴λ＝――――
２
（（３＋√５）n ）
（（――――） ０ ）
（（ ２ ） ）
Ｂn ＝（ ）
（ （３－√５）n ）
（ ０ （――――） ）
（ （ ２ ） ）
（ ３＋√５ ）（ ） （ ）
（１－―――― １ ）（ ） （ ）
（ ２ ）（ｘ） （０）
（ ）（ ） （ ）
（ ３＋√５）（ ）＝（ ）
（ １ ２－――――）（ｙ） （０）
（ ２ ）（ ） （ ）
３＋√５ １＋√５
∴ｙ＝（――――－１）ｘ＝――――ｘ
２ ２
（ｘ） （ ｘ ） （ １ ）
（ ） （ ） （ ）
（ ）＝（１＋√５ ）＝（１＋√５）ｘ
（ｙ） （――――ｘ） （――――）
（ ） （ ２ ） （ ２ ）
同様にして、
（ ３－√５ ）（ ） （ ）
（１－―――― １ ）（ ） （ ）
（ ２ ）（ｘ） （０）
（ ）（ ） （ ）
（ ３－√５）（ ）＝（ ）
（ １ ２－――――）（ｙ） （０）
（ ２ ）（ ） （ ）
３－√５ １－√５
∴ｙ＝（――――－１）ｘ＝――――ｘ
２ ２
（ｘ） （ ｘ ） （ １ ）
（ ） （ ） （ ）
（ ）＝（１－√５ ）＝（１－√５）ｘ
（ｙ） （――――ｘ） （――――）
（ ） （ ２ ） （ ２ ）
したがって、行列Ｐは
（ １ １ ）
（ ）
Ｐ＝（１＋√５ １－√５）
（―――― ――――）
（ ２ ２ ）
逆行列Ｐ-1を求めて、
（ １－√５ ）
（ ―――― －１ ）
１ （ ２ ）
Ｐ-1＝―――――――――・（ ）
１－√５ １＋√５ （ １＋√５ ）
――――－―――― （－―――― １ ）
２ ２ （ ２ ）
（ １－√５ ）
（ ―――― －１ ）
１ （ ２ ）
＝―――・（ ）
－√５ （ １＋√５ ）
（－―――― １ ）
（ ２ ）
Ａn ＝Ｐ-1Ｂn Ｐより、
（ 1－√5 ）(（3＋√5）n ）( )
（ ――― －1 ）(（―――） 0 ）( 1 1 )
1 （ 2 ）(（ 2 ） ）( )
＝――・（ ）( ）( )
－√5 （ 1＋√5 ）( （3－√5）n ）(1+√5 1-√5 )
（－――― 1 ）( 0 （―――） ）(――― ―――)
（ 2 ）( （ 2 ） ）( 2 2 )
（ａn ） （１ １）n-1 （１）
（ ）＝（ ）・ （ ）
（ｂn ） （１ ２） （１）
（√５－１ （３＋√５）n-1 １ （３－√５）n-1 ）
（――――・（――――） ＋――・（――――） ）
（ √５ （ ２ ） √５ （ ２ ） ）
＝（ ） ………（答）
（√５＋１ （３＋√５）n-1 １ （３－√５）n-1 ）
（――――・（――――） －――・（――――） ）
（ √５ （ ２ ） √５ （ ２ ） ）
問４
√５－１ （３＋√５）n-1 １ （３－√５）n-1
――――・（――――） ＋――・（――――）
ａn √５ （ ２ ） √５ （ ２ ）
ｌｉｍ ――＝ｌｉｍ ―――――――――――――――――――――――――
ｎ→∞ ｂn ｎ→∞ √５＋１ （３＋√５）n-1 １ （３－√５）n-1
――――・（――――） －――・（――――）
√５ （ ２ ） √５ （ ２ ）
３－√５
＝―――――― ………（答）
２
※お便りをいただいたお二人（感謝！！）と答が違ってしまったので、
どこかで計算間違いをしてしまったようだ。見直すのはもう少しかかりそうだ。
ゴメン！！