質問＜６５１＞２００１／９／２８
from=きむ
「ラグランジュ補間公式とマクローリン展開について」

できる人がいたら誰かおしえてちょ。
１．ラグランジュ補間公式（X1，Y1）、（X2，Y2）、
,...（Xn，Yn）をn組の実数とする。
n-1次の多項式ｆ(x)でｆ(Xi)＝ｙi(i=1,2,3,...,n)となるものを求めよ。
まず、この問題はラグランジュの補間公式とは何かから教えてください。

２．マクローリン展開を用いて、次の不等式を証明してください。
1) 0＜x＜π/2のとき、X-X^(3/2)＜sinX＜X
2) X>0のとき、1-X＜e^(-x)＜1-X+X^2/2
3) X>0のとき、X-X^2/2＜log(1+X)＜x

お便り２００１／１０／２
from=Hoshino

1. これは Lagrange's interpolation formula を作れっていう
問題ではないのだろうか ?

a(x) = (x - X1)(x - X2)……(x - Xn)
とし,
a_k(x) = a(x)/(x - Xk)
(約分した結果) としよう。
a__k(x) は x = X1, X2, ..., Xn を代入してみると,
x = Xk 以外では全て 0 で
a_k(Xk) = (Xk - X1)(Xk - X2)……(Xk - Xn) (≠0)
である。
しかも deg a_k(x) = n - 1.
だから
f(x) = Σ_(k=1)^n Yk a_k(x)/a_k(Xk)
とすれば題意を満たす。

2.
1) Taylor の定理より
sin x = x - (sin ξ)x^2/2 ＜ x, 0 ＜ ξ ＜ x ＜ π/2.
これで右半分は終り。
左半分は先ず 0 ＜ x ＜ 1 の時 0 ＜ ξ ＜ x ＜ π/2 で
x^(3/2) > ξx^(1/2) > ξx^2 >  (sin ξ)x^2 > (sin ξ)x^2/2
だから。
また 1 ≦ x の時は
x - x^(3/2) ≦ 0 ＜ sin x
だから証明すべきことはない。