質問<651>2001/9/28
できる人がいたら誰かおしえてちょ。 1.ラグランジュ補間公式(X1,Y1)、(X2,Y2)、 ,...(Xn,Yn)をn組の実数とする。 n-1次の多項式f(x)でf(Xi)=yi(i=1,2,3,...,n)となるものを求めよ。 まず、この問題はラグランジュの補間公式とは何かから教えてください。 2.マクローリン展開を用いて、次の不等式を証明してください。 1) 0<x<π/2のとき、X-X^(3/2)<sinX<X 2) X>0のとき、1-X<e^(-x)<1-X+X^2/2 3) X>0のとき、X-X^2/2<log(1+X)<x
お便り2001/10/2
from=Hoshino
1. これは Lagrange's interpolation formula を作れっていう 問題ではないのだろうか ? a(x) = (x - X1)(x - X2)……(x - Xn) とし, a_k(x) = a(x)/(x - Xk) (約分した結果) としよう。 a__k(x) は x = X1, X2, ..., Xn を代入してみると, x = Xk 以外では全て 0 で a_k(Xk) = (Xk - X1)(Xk - X2)……(Xk - Xn) (≠0) である。 しかも deg a_k(x) = n - 1. だから f(x) = Σ_(k=1)^n Yk a_k(x)/a_k(Xk) とすれば題意を満たす。 2. 1) Taylor の定理より sin x = x - (sin ξ)x^2/2 < x, 0 < ξ < x < π/2. これで右半分は終り。 左半分は先ず 0 < x < 1 の時 0 < ξ < x < π/2 で x^(3/2) > ξx^(1/2) > ξx^2 > (sin ξ)x^2 > (sin ξ)x^2/2 だから。 また 1 ≦ x の時は x - x^(3/2) ≦ 0 < sin x だから証明すべきことはない。