質問<656>2001/9/29
極値を求めよ。 1) 2 y=x√(1-x ) (-1<x<1) 2) 2 2 f(x,y)=xy+xy-xy 3) 4 3 2 2 f(x,y)=x-4x+3x-2xy-y 大学編入の問題です。解き方を教えてください。
お便り2001/10/1
from=Hoshino
1) y = x (1-x^2)^(1/2) y' = (1-x^2)^(1/2) + x・2x(1-x^2)^(-1/2)/2 = (1-x^2)^(1/2) + x^2(1-x^2)^(-1/2) = ((1-x^2) + x^2)/√(1-x^2) = 1/√(1-x^2) > 0, -1 < x < 1. 従って極値は存在しない。 2) ∂f/∂x = y + 2xy - y^2 = y(1 + 2x - y), ∂f/∂y = x(1 + x - 2y). ここで ∂f/∂x =∂f/∂y = 0 と置くと x = y = 0 又は y = 0 且つ 1 + x - 2y = 0 (即ち x = -1, y = 0) 又は 1 + 2x - y = 0 且つ x = 0 (即ち x = 0, y = 1) 又は 1 + 2x - y = 1 + x - 2y = 0 (即ち x = -1/3, y = 1/3). ∂^2f/∂x^2 = 2y, ∂^2f/(∂x∂y) = 1 + 2x - 2y, ∂^2f/∂y^2 = -2x. よって Hessian H(x, y) = 2y×(-2x) - (1 + 2x - 2y)^2 = - 4xy - (4x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x - 4y + 1) = -4x^2 -4y^2 - 4x + 4y - 1. H(0, 0) = -1 < 0 は極値点ではない。 H(-1, 0) = -4 + 4 - 1 = -1 < 0 も極値点ではない。 H(0, 1) = -4 + 4 -1 = -1 < 0 も極値点ではない。 H(-1/3, 1/3) = 7/9 > 0 なのでこれが極値点。 極値は f(-1/3, 1/3) = -1/27. (∂^2/∂x^2)f(-1/3, 1/3) = 2/3 だから下に凸なので, 極小。 3)∂f/∂x = 4x^3 - 12x^2 + 6x - 2y = 2(2x^3 - 6x^2 + 3x - y), ∂f/∂y = -2(x + y). ここで ∂f/∂x =∂f/∂y = 0 と置くと y = -x だから 2x^3 - 6x^2 + 3x + x = 2x^3 - 6x^2 + 4x = 2x(x^2 - 3x + 2) = 2x(x - 1)(x - 2) = 0. 即ち (x, y) = (0, 0), (1, -1), (2, -2). ∂^2f/∂x^2 = 6(2x^2 - 4x + 1), ∂^2f/(∂x∂y) = -2, ∂^2f/∂y^2 = -2. よって Hessian H(x, y) = -12(2x^2 - 4x + 1) - 4 = -8(3x^2 - 6x + 2). H(0, 0) = -8 < 0 は極値点ではない。 H(1, -1) = -8×(3 - 6 + 2) = 8 > 0 は極値点。 H(2, -2) = -8×(12 - 12 + 2) = -16 < 0 は極値点ではない。 極値は f(1, -1) = 1 - 1 + 3 + 2 - 1 = 2. (∂^2/∂x^2)f(1, -1) = 6×(2 - 4 + 1) = -6 < 0 は上に凸なので極大。