質問＜６５６＞２００１／９／２９
from=きょうこ
「極値の問題」

極値を求めよ。
１）　　　　　　　　2
　　ｙ＝ｘ√（１－ｘ　）　（－１＜ｘ＜１）

２）　　　　　　　　　　2　　　 2
　　ｆ(ｘ，ｙ)＝ｘｙ＋ｘｙ－ｘｙ

３）　　　　　　　4　　 3　　 2          2
　　ｆ(ｘ，ｙ)＝ｘ－４ｘ＋３ｘ－２ｘｙ－ｙ

大学編入の問題です。解き方を教えてください。

お便り２００１／１０／１
from=Hoshino

1) y = x (1-x^2)^(1/2)
y' = (1-x^2)^(1/2) + x・2x(1-x^2)^(-1/2)/2
= (1-x^2)^(1/2) + x^2(1-x^2)^(-1/2)
= ((1-x^2) + x^2)/√(1-x^2)
= 1/√(1-x^2) > 0, -1 ＜ x ＜ 1.
従って極値は存在しない。

2) ∂f/∂x = y + 2xy - y^2 = y(1 + 2x - y),
∂f/∂y = x(1 + x - 2y).

ここで ∂f/∂x =∂f/∂y = 0 と置くと
x = y = 0
又は
y = 0 且つ 1 + x - 2y = 0 (即ち x = -1, y = 0)
又は
1 + 2x - y = 0 且つ x = 0 (即ち x = 0, y = 1)
又は
1 + 2x - y = 1 + x - 2y = 0 (即ち x = -1/3, y = 1/3).

∂^2f/∂x^2 = 2y,
∂^2f/(∂x∂y) = 1 + 2x - 2y,
∂^2f/∂y^2 = -2x.
よって Hessian
H(x, y) = 2y×(-2x) - (1 + 2x - 2y)^2
= - 4xy - (4x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x - 4y + 1)
= -4x^2 -4y^2 - 4x + 4y - 1.

H(0, 0) = -1 ＜ 0 は極値点ではない。
H(-1, 0) = -4 + 4 - 1 = -1 ＜ 0 も極値点ではない。
H(0, 1) = -4 + 4 -1 = -1 ＜ 0 も極値点ではない。
H(-1/3,  1/3) =  7/9 > 0 なのでこれが極値点。
極値は
f(-1/3,  1/3) = -1/27.
(∂^2/∂x^2)f(-1/3, 1/3) = 2/3 だから下に凸なので, 極小。

3)∂f/∂x = 4x^3 - 12x^2 + 6x - 2y 
　= 2(2x^3 - 6x^2 + 3x - y), ∂f/∂y = -2(x + y).

ここで ∂f/∂x =∂f/∂y = 0 と置くと
y = -x だから
2x^3 - 6x^2 + 3x + x
= 2x^3 - 6x^2 + 4x
= 2x(x^2 - 3x + 2)
= 2x(x - 1)(x - 2) = 0.
即ち (x, y) = (0, 0), (1, -1), (2, -2).

∂^2f/∂x^2 = 6(2x^2 - 4x + 1),
∂^2f/(∂x∂y) = -2,
∂^2f/∂y^2 = -2.
よって Hessian
H(x, y) = -12(2x^2 - 4x + 1) - 4 = -8(3x^2 - 6x + 2).

H(0, 0) = -8 ＜ 0 は極値点ではない。
H(1, -1) = -8×(3 - 6 + 2) = 8 > 0 は極値点。
H(2, -2) = -8×(12 - 12 + 2) = -16 ＜ 0 は極値点ではない。
極値は
f(1, -1) = 1 - 1 + 3 + 2 - 1 = 2.
(∂^2/∂x^2)f(1, -1) = 6×(2 - 4 + 1) = -6 ＜ 0 は上に凸なので極大。