質問<674>2001/10/14
初めまして書きこみします。 この問題が解けずに困っています。 誰かとける人居ないでしょうか? 絶対値がで偏角がθである複素数zに対してw=1-zとおく、 ただし、0°<θ<360°とする。 1、wを極形式で表せ。 2、w^2-4z cos^2θ/2=4となるθの値を求めよ。 この問題を解ける人が居たらお願いします。
お便り2001/10/17
from=Hoshino
1. w = 1 - z = 1-cosθ - i sinθ |w|^2 = (1 - cosθ)^2 + sin^2 θ = 2 - 2 cosθ = 2(1 - cosθ) = 4sin^2 (θ/2) ……半角の公式 故に 0 < θ/2 < π より |w| = 2sin(θ/2). Re(w)/|w| = (1-cosθ)/√(2(1-cosθ)) = √((1-cosθ)/2) = √sin^2(θ/2) = sin (θ/2)…… (0 < θ/2 < π だから) cos arg(w) = sin(θ/2) sin arg(w) = -sinθ/(2sin(θ/2)) =-2sin(θ/2)cos(θ/2)/(2sin(θ/2)) =-cos(θ/2) 従って arg (w) = θ/2 - π/2. w = 2sin(θ/2)(cos(θ/2 - π/2) + i sin (θ/2 - π/2)). 2. w^2 - 4z cos^2(θ/2) = 4sin^2(θ/2)(cos(θ-π)+isin(θ-π))-4cos^2(θ/2)(cosθ+isinθ) =-4sin^2(θ/2)(cosθ+isinθ)-4cos^2(θ/2)(cosθ+isinθ) =-4(cosθ + i sinθ) = 4 故に cosθ + i sinθ = -1 即ち θ = π.