質問＜６７４＞２００１／１０／１４
from=神鉄
「複素数」

初めまして書きこみします。
この問題が解けずに困っています。
誰かとける人居ないでしょうか？

絶対値がで偏角がθである複素数zに対してw=1-zとおく、
ただし、0°＜θ＜360°とする。

１、wを極形式で表せ。

２、w^2-4z cos^2θ/2=4となるθの値を求めよ。

この問題を解ける人が居たらお願いします。

お便り２００１／１０／１７
from=Hoshino

1.
w = 1 - z
= 1-cosθ - i sinθ
|w|^2 = (1 - cosθ)^2 + sin^2 θ
= 2 - 2 cosθ
= 2(1 - cosθ)
= 4sin^2 (θ/2) ……半角の公式
故に 0 ＜ θ/2 ＜ π より
|w| = 2sin(θ/2).
Re(w)/|w| = (1-cosθ)/√(2(1-cosθ))
= √((1-cosθ)/2)
= √sin^2(θ/2)
= sin (θ/2)…… (0 ＜ θ/2 ＜ π だから)
cos arg(w) = sin(θ/2)
sin arg(w) = -sinθ/(2sin(θ/2))
=-2sin(θ/2)cos(θ/2)/(2sin(θ/2))
=-cos(θ/2)
従って
arg (w) = θ/2 - π/2.
w = 2sin(θ/2)(cos(θ/2 - π/2) + i sin (θ/2 - π/2)).

2.
w^2 - 4z cos^2(θ/2)
= 4sin^2(θ/2)(cos(θ-π)+isin(θ-π))-4cos^2(θ/2)(cosθ+isinθ)
=-4sin^2(θ/2)(cosθ+isinθ)-4cos^2(θ/2)(cosθ+isinθ)
=-4(cosθ + i sinθ) = 4
故に
cosθ + i sinθ = -1
即ち θ = π.