質問＜６７５＞２００１／１０／１６
from=芥
「連分数展開」

√２の連分数展開は
　[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,・・・・・]となり
法則は、
√(k^2+1)=[k,2k,2k,2k・・・・]とまでは解ったのですが
この証明がさっぱりなんです、
お願いします

お便り２００１／１１／１
from=Hoshino

x = [k, 2k, 2k, 2k, ...]
と置こう。
即ち
x - k = [0, 2k, 2k, ...] = 1/(2k + 1/(2k + …))
即ち
x - k = 1/(2k + (x - k))
x - k = 1/(x + k)
(x - k)(x + k) = 1.
x^2 - k^2 = 1.
x^2 = k^2 + 1.
明らかに x > 0 だから
x = √(k^2 + 1).