質問＜６８０＞２００１／１０／２１
from=ゆうき
「郡数列」

郡数列の意味がよく分りません。
詳しく教えて下さい。
①数列1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5・・・がある。この数列の第100項、
　および、初項から第100項までの和を求めよ。

1｜2,3｜4,5,6｜7,8,9,10｜11,12,13,14,15｜・・・
①第n郡の最初の数は何か。
②第ｎ郡の総和を求めよ。
③365は第何郡の第何番目の数であるか。

お便り２００１／１１／１
from=Hoshino

最初の方:
1| 1, 2| 1, 2, 3| 1, 2, 3, 4|, ......
と | で挟まれた部分を一群と見ると, その群を纏めて数えることにすると
第 n 群までの項の数は
1 + 2 + 3 + …… + n = n(n + 1)/2.
とりあえず
n(n + 1)/2 ≧ 100
とすると, n^2 + n - 200 ≧ 0 (n > 0).
調べてみると n ≧ 14.
n = 13 とすると 13×14/2 = 13×7 = 91.
よって 92 項からあとは
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
で見れば 9 が第 100 項であることが分かる。

第 100 項までの和は
Σ_(k = 1)^13 k(k+1)/2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= 500 (計算間違いがあるかもしれない)。


次の方:
①第 n - 1 群までの項の数は
1 + 2 + 3 + …… + (n - 1) = n(n - 1)/2.
だから第 n 群の最初の数はその次だから
n(n - 1)/2 + 1.
②第 n 群の最初の数 n(n - 1)/2 + 1 から n 個の自然数の和である。
等差数列の和の公式から
n((n(n-1)/2 + 1)×2 + (n-1))/2
= n(n^2 + 1)/2.
③ 365 ≧n(n-1)/2 と置く
n ≦ 27.
第 27 群の最初の数は 352 だから
365 - 352 + 1 = 14.
従って 第 27 群の第 14 項。