質問＜６８２＞２００１／１０／２３
from=しんじ
「ベクトルの代数」

3点Ｐ（２、４、３）、Ｑ（－１，５，１），Ｒ（３，１，４）について、
次のものを求めよ。

　（１）―→　―→
　　　　ＰＱ＊ＰＲ
　
　（２）△ＰＱＲの体積

　　という問題が解けません。

お返事２００１／１１／１
from=武田

①―→
　ＰＱ＝（－１－２，５－４，１－３）＝（－３，１，－２）
　―→
　ＰＲ＝（３－２，１－４，４－３）＝（１，－３，１）

　　―→　―→
内積ＰＱ・ＰＲ＝（－３）×１＋１×（－３）＋（－２）×１
　　　　　　　＝－８………（答）

②△ＰＱＲの面積（体積ではなく、面積でしょう！）
　　　１　―→　　―→
　Ｓ＝―｜ＰＱ｜｜ＰＲ｜sinθ
　　　２

内積より、
―→　―→　　―→　　―→
ＰＱ・ＰＲ＝｜ＰＱ｜｜ＰＲ｜cosθ

　―→
｜ＰＱ｜＝√｛（－３）2 ＋１2 ＋（－２）2 ｝
　　　　＝√１４
　―→
｜ＰＲ｜＝√｛１2 ＋（－３）2 ＋１2 ｝
　　　　＝√１１

したがって、
－８＝√１４×√１１×cosθ

　　　　　－８
cosθ＝―――――
　　　　√１５４

　　　　　　　　　　－８
sinθ＝√｛１－（―――――）2 ｝
　　　　　　　　　√１５４

　　　　　　１５４－６４
　　　＝√（――――――）
　　　　　　　　１５４

　　　　　　　９０
　　　＝√―――――
　　　　　　１５４

したがって、面積Ｓは、

　　１　　　　　　　　　　　　９０
Ｓ＝―×√１４×√１１×√―――――
　　２　　　　　　　　　　　１５４

　　３√１０
　＝――――………（答）
　　　２

お便り２００１／１１／１
from=Hoshino

682 (2)
面積ですよね。体積は 0 です (笑)。
θ = ∠RPQ とすると
△ＰＱＲ = |PQ||PR|sin θ
= |PQ||PR|√(1 - cos^2 θ)
= √(|PQ|^2 |PR|^2 - (|PQ||PR|cos θ)^2)
= √(|PQ|^2 |PR|^2 - (PQ･PR)^2)
PQ･PR はベクトルの内積で (1) で求めたもの。