質問＜６８４＞２００１／１０／２４
from=ＯＰＥＮ
「√3　が無理数であることを用いて？」

√3　が無理数であることを用いて、
次の数が無理数であることを示せ。

(１)３＋√3

(２)３√3

　　　１
(３) ――
　　　√3

お返事２００１／１１／１
from=武田

①３＋√３が有理数と仮定すると、
　　　　　ｍ
３＋√３＝―
　　　　　ｎ

　　　ｍ　　　ｍ－３ｎ
√３＝―－３＝――――
　　　ｎ　　　　ｎ

条件より、√３は無理数だから、分数にはならないので、矛盾。
したがって、３＋√３は無理数

②３・√３が有理数と仮定すると、
　　　　　ｍ
３・√３＝―
　　　　　ｎ

　　　　ｍ
√３＝――
　　　３ｎ

条件より、√３は無理数だから、分数にはならないので、矛盾。
したがって、３・√３は無理数

③１／√３が有理数と仮定すると、

　１　　ｍ
―――＝―
√３　　ｎ

ひっくり返して、
　　　ｎ
√３＝―
　　　ｍ

条件より、√３は無理数だから、分数にはならないので、矛盾。
したがって、１／√３は無理数

お便り２００１／１１／１
from=Hoshino

(1) 3 + √3 = r を有理数とすると
√3 = r - 3. 右辺は有理数で, 左辺は無理数だから矛盾。
(2) 3√3 = r を有理数とすると √3 = r/3. 以下同様。
(3) 1/√3 = r を有理数とすると
r√3 = 1
√3 = 1/r. 以下同様。