質問<697>2001/11/18
お久しぶりです。 期末が近いのであせってます。 次の問題をお願いします。 正四面体OABCの辺OA,BC,CAの中点を、 それぞれP,Q,Rとする。 PQとORのなす角をθとするとき、cosθを求めよ。
お返事2001/11/21
from=武田
―→ → ―→ → ―→ → OA=a、OB=b、OC=cとし、 正四面体だから、それぞれの大きさは等しい。 → → → |a|=|b|=|c|=rとおくと、 → → → → → ―→ a ―→ b+c ―→ a+c OP=―、OQ=―――、OR=――― 2 2 2 したがって、 → → → ―→ ―→ ―→ b+c-a PQ=OQ-OP=――――― 2 内積より、 ―→ ―→ ―→ ―→ OR・PQ=|OR||PQ|cosθ → → → → → ―→ ―→ a+c b+c-a 左辺=OR・PQ=―――・――――― 2 2 1 → → → → → → → → → → → → =―(a・b+a・c-a・a+c・b+c・c-c・a) 4 1 =―(r2cos60°-r2+r2cos60°+r2) 4 1 =―r2cos60° 2 1 =―r2 4 → → → → → → → → → → a+c a+c b+c-a b+c-a 右辺=√(―――・―――)√(―――――・―――――)cosθ 2 2 2 2 1 1 =―√(2r2+2r2cos60°)――√(3r2+2r2cos60°-2r2cos60°-2r2cos60°)cosθ 2 2 1 1 =―√(3r2)―√(2r2)cosθ 2 2 √6 =――r2cosθ 4 したがって、 1 √6 ―r2=――r2cosθ 4 4 1 ∴cosθ=―――………(答) √6