質問＜６９７＞２００１／１１／１８
from=りさ
「空間ベクトル」

お久しぶりです。
期末が近いのであせってます。
次の問題をお願いします。

正四面体ＯＡＢＣの辺ＯＡ，ＢＣ，ＣＡの中点を、
それぞれＰ，Ｑ，Ｒとする。
ＰＱとＯＲのなす角をθとするとき、ｃｏｓθを求めよ。

お返事２００１／１１／２１
from=武田

―→　→　―→　→　―→　→
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＣ＝ｃとし、
正四面体だから、それぞれの大きさは等しい。
　→　　　→　　　→
｜ａ｜＝｜ｂ｜＝｜ｃ｜＝ｒとおくと、

　　　→　　　　→　→　　　　→　→
―→　ａ　―→　ｂ＋ｃ　―→　ａ＋ｃ
ＯＰ＝―、ＯＱ＝―――、ＯＲ＝―――
　　　２　　　　　２　　　　　　２
したがって、
　　　　　　　　　→　→　→
―→　―→　―→　ｂ＋ｃ－ａ
ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ＝―――――
　　　　　　　　　　　２

内積より、
―→　―→　　―→　　―→
ＯＲ・ＰＱ＝｜ＯＲ｜｜ＰＱ｜cosθ

　　　　　　　　　→　→　→　→　→
　　　―→　―→　ａ＋ｃ　ｂ＋ｃ－ａ
左辺＝ＯＲ・ＰＱ＝―――・―――――
　　　　　　　　　　２　　　　２

　　　１　→　→　→　→　→　→　→　→　→　→　→　→
　　＝―（ａ・ｂ＋ａ・ｃ－ａ・ａ＋ｃ・ｂ＋ｃ・ｃ－ｃ・ａ）
　　　４

　　　１
　　＝―（ｒ2cos６０°－ｒ2＋ｒ2cos６０°＋ｒ2）
　　　４

　　　１
　　＝―ｒ2cos６０°
　　　２

　　　１
　　＝―ｒ2
　　　４

　　　　　→　→　→　→　　　→　→　→　→　→　→
　　　　　ａ＋ｃ　ａ＋ｃ　　　ｂ＋ｃ－ａ　ｂ＋ｃ－ａ
右辺＝√（―――・―――）√（―――――・―――――）cosθ
　　　　　　２　　　２　　　　　　２　　　　　２

　　　１　　　　　　　　　　　　　　１
　　＝―√（２ｒ2＋２ｒ2cos６０°）――√（３ｒ2＋２ｒ2cos６０°－２ｒ2cos６０°－２ｒ2cos６０°）cosθ
　　　２　　　　　　　　　　　　　　２

　　　１　　　　　１
　　＝―√（３ｒ2）―√（２ｒ2）cosθ
　　　２　　　　　２

　　　√６
　　＝――ｒ2cosθ
　　　　４

したがって、
１　　　√６
―ｒ2＝――ｒ2cosθ
４　　　　４

　　　　　　１
∴cosθ＝―――………（答）
　　　　　√６