質問＜６９８＞２００１／１１／１９
from=３年１０組１２番
「微積分」

武田先生、お久しぶりです。
本日は、微積分のところで分からない問題があるので
ご教授願いませんか？お願いします。

閉区間[-1/2，1/2]上の関数ｆ(x)を次の式で定義する。
　　　　　x＋1
　ｆ(x)＝∫　　log(│t-1/2│+1/2）dt　
　　　　　x
(1)ｆ(x)の導関数ｆ'(x)（-1/2＜x＜1/2)を求めよ。
(2)ｆ(x)を最小にするｘの値のａと、そのときの
　　最小値を求めよ。
(3)(2)で求めたａに対して、
　　　ａ+1
　　∫　ｔlog(│t-1/2│+1/2)dt
　　　ａ
を求めよ。
宜しくお願いします。

お返事２００１／１１／２１
from=武田

問１
　　　　　　　ｄ　　　　　　ｄ　x+1　　　　　１　　１
ｆ’（ｘ）＝――ｆ（ｘ）＝――∫　log（｜ｔ－―｜＋―）ｄｔ
　　　　　　ｄｘ　　　　　ｄｘ　x　　　　　　２　　２

　　　　　　　　　　　　　　１　　　１　　　　　　　　１　　１
　　　　　＝log（｜ｘ＋１－――｜＋――）－log（｜ｘ－―｜＋―）
　　　　　　　　　　　　　　２　　　２　　　　　　　　２　　２

　　　　　　　　　　　　１　　　１　　　　　　　　１　　１
　　　　　＝log（｜ｘ＋――｜＋――）－log（｜ｘ－―｜＋―）＝※
　　　　　　　　　　　　２　　　２　　　　　　　　２　　２

　１　　　１
－―≦ｘ≦―　より、
　２　　　２

　　　　１　　　　　１
　　ｘ＋―≧０、ｘ－―≦０
　　　　２　　　　　２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＋ｘ
※＝log（ｘ＋１）－log（－ｘ＋１）＝log　――――　………（答）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１－ｘ

問２
ｘ≠１、ｆ’（ｘ）＝０より、

１＋ｘ
―――＝１
１－ｘ

１＋ｘ＝１－ｘ
２ｘ＝０
∴ｘ＝０

　　　　　　1　　　　　　１　　１
ｆ（０）＝∫　log（｜ｔ－―｜＋―）ｄｔ
　　　　　　0　　　　　　２　　２

　　　　　　1　　　　　　　　　1/2
　　　　＝∫　log（ｔ）ｄｔ＋∫　log（－ｔ＋１）ｄｔ
　　　　　　1/2　　　　　　　　0

　　　　＝log２－１

　１　　　１
－―≦ｘ≦―　より、
　２　　　２



ｘ＝０のとき、極小だから、
∴ａ＝０のとき、最小値（log２－１）………（答）

問３
　1　　　　　　　１　　１
∫　ｔlog（｜ｔ－―｜＋―）ｄｔ
　0　　　　　　　２　　２

　　1　　　　　　　　　　1/2
＝∫　ｔlog（ｔ）ｄｔ＋∫　ｔlog（－ｔ＋１）ｄｔ
　　1/2　　　　　　　　　0

（途中の計算は省略）

　１
＝―（log２－１）………（答）
　２