質問＜７０＞９８／１０／１９
from=コウスケ
「楕円の周の長さ」

楕円の周の長さはどのようにして求めるのでしょうか？

お返事９８／１０／２０
from=武田

ｘ2　　ｙ2
──＋──＝１　を楕円の式とします。
ａ2　　ｂ2

ｘ＝ａsinθ、ｙ＝ｂcosθとおくと、
dx/dθ＝ａcosθ、dy/dθ＝－ｂsinθ

周の長さｓは線積分で求めます。
　　　π/2
ｓ＝４∫　√｛（dx/dθ）2＋（dy/dθ）2｝ｄθ
　　　 0

一部を先に計算すると、
｛（dx/dθ）2＋（dy/dθ）2｝
＝ａ2cos2θ＋ｂ2sin2θ
＝ａ2（１－sin2θ）＋ｂ2sin2θ
＝ａ2－ａ2sin2θ＋ｂ2sin2θ
＝ａ2－（ａ2－ｂ2）sin2θ
＝ａ2｛１－（ａ2－ｂ2）／ａ2・sin2θ｝

ｋ2＝（ａ2－ｂ2）／ａ2とおくと、
｛（dx/dθ）2＋（dy/dθ）2｝
＝ａ2（１－ｋ2・sin2θ）

したがって、
　　　π/2
ｓ＝４∫　√｛（dx/dθ）2＋（dy/dθ）2｝ｄθ
　　　 0
　　　π/2
　＝４∫　√｛ａ2（１－ｋ2・sin2θ）｝ｄθ
　　　 0
　　　　π/2
　＝４ａ∫　√（１－ｋ2・sin2θ）ｄθ
　　　　 0
二項定理より、
　　　　π/2
ｓ＝４ａ∫（１－1/2・ｋ2・sin2θ＋1/2(-1/2)1/2!・ｋ4・sin4θ－……）ｄθ
　　　　 0
　＝４ａ（π/2－1/2・ｋ2・1/2・π/2＋1/2(-1/2)1/2!・ｋ4・3/4・1/2・π/2－……）
　＝２ａπ（１－1/4・ｋ2－3/64・ｋ4－5/ 256・ｋ6－……）

つまり、楕円の周の長さｓは、近似値でしか求まらない。
かなり難しいですね。
例えば、ａ＝１０、ｂ＝８とすると、
ｋ＝３／５より、
ｓ＝２０π（１－0.09－0.006075－0.00091125－……）
　＝２０π・0.90301375
　＝56.737437529
　≒５６．７４