質問<702>2001/11/22
1/(x^2+1)を0から1までで積分する問題が わかりません。 おねがいします。
お返事2001/11/22
from=武田
1 1 ∫ ―――――dx=※ 0 x2+1 置換積分で解くことが出来る。 1 x=tanθとおく。dx=――――dθ cos2θ x2+1=tan2θ+1 1 =―――― cos2θ x|0―→1 ――――――― θ|0―→π/4 置き換えて、 π/4 1 ※=∫ cos2θ・――――dθ 0 cos2θ π/4 π/4 π π =∫ dθ=[θ] =―-0=― ………(答) 0 0 4 4
お便り2001/11/22
from=はな
1/(x^2+1)を0から1までで積分する問題について 教えていただきありがとうございました。 もうひとつ質問したいのですが, 学校で友達が「1/(x-i)(x+i)に変形して分数の差にして積分したら, logが出てきてわからなくなった。」と言ってたのですが, そのような解き方もありますか? お願いします。
お返事2001/11/22
from=武田
1 1 ∫ ―――――dx=※ 0 x2+1 x2+1=(x+i)(x-i)より、 1 1 1 1 1 1 ※=∫ ――――――dx=―― ∫ (―― - ―― )dx 0 (x+i)(x-i) 2i 0 x-i x+i 1 1 =―― [log|x-i|-log|x+i|] 2i 0 1 =―― (log|1-i|-log|-i|-log|1+i|+log|i|) 2i 1 i(1-i) =―― log|―――――――――| 2i (-i)(1+i) 1 1+i =―― log|――――| 2i 1-i 1 =―― log|i| ………(答) 2i これがπ/4となれば、いいのだが………(×_×;) どなたかアドバイスください!
お返事2001/11/24
from=武田
iは別の何かで表せないか考えていると、 eiθ=cosθ+isinθ を思いついた。 π θ=―とおくと、 2 ei(π/2)=cos(π/2)+isin(π/2)=i log|i|=log|ei(π/2)|=i(π/2)・loge=i(π/2) 1 1 iπ π ※=――log|i|=―――・―――=―― ………(答) 2i 2i 2 4 万歳!!π/4がでてきた。 ※メールを見たら、CharlieBrownさんからも同様な解答が寄せられ ていました。感謝!!
お便り2001/11/23
from=CharlieBrown
1 1 ∫ ―――――dx 0 x^2 + 1 1 1 =∫ ――――――dx 0 (x+i)(x-i) 1 1 1 1 =――∫ (―― - ――)dx 2i 0 x-i x+i 1 1 =―― [log(x - i) - log(x + i)] 2i 0 1 x - i 1 =――[log(―――)] 2i x + i 0 1 (1-i) -i =――(log――― - log――) 2i (1+i) i 1 (1-i)i =――log――――― 2i (1+i)(-i) 1 =――log(i) 2i ここで、複素数の極形式を用いると、 z = re^(iθ) (ただし、0≦θ<2πとする) の対数は、 logz = logr + iθ であり、複素数iの絶対値と偏角はそれぞれ1とπ/2だから、 log(i) = log1 + iπ/2 = iπ/2 1 π ∴――log(i)=― 2i 4