質問<708>2001/11/28
期末テストが金曜日から行われます。今回の数学のテスト範囲については、 全て学校のプリントからということですが、病院に行ってて、1回授業を受 けていないんです。一応解いてみたんだけど合っているかどうか自信があり ません。答え合わせという形になりますが、解いていただけませんでしょう か。お願いします。 logは自然対数とし、自然対数の底をeで表す。関数 f(x)=2x-xlogx(x>0) について、次の問いに答えよ。 (1)関数f(x)の増減、そのグラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。 (2)曲線y=f(x)上の点(e^2、f(e^2))における接線l(エル)の方程式を 求めよ。また、y=f(x)の接線のうち、直線lに直交する直線mの方程式 を求めよ。 (3)(2)における2直線l、mと曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積を求めよ。 (01 愛媛大・理,医,工)
お返事2001/11/30
from=武田
問1 f(x)=2x-xlogx f′(x)=2-logx-1 =1-logx 1 f″(x)=-― x f′(x)=0より、x=e f″(x)=0となるxは無い。 f(e)=2e-eloge =2e-e =e 0<x<eで増加、e<xで減少 x=eにおいて、極大値e 上に凸、グラフは上記。 問2 f(e2 )=2e2 -e2 loge2 =2e2 -2e2 =0 f′(e2 )=1-loge2 =1-2 =-1 y-0=-1(x-e2 ) ∴y=-x+e2 ………直線L -1×m=-1より、 m=1 f′(x)=1-logx=1 logx=0 ∴x=1 f(1)=2-log1 =2 y-2=1(x-1) ∴y=x+1 ………直線M 問3 交点は連立して -x+e2 =x+1 2x=e2 -1 e2 -1 ∴x=―――― 2 囲まれた面積は、2つに分かれる。 (e2 -1)/2 S1=∫ {(x+1)-(2x-xlogx)}dx 1 (e2 -1)/2 =∫ {-x+1+xlogx)dx 1 (e2 -1)2 e2 -1 (e2 -1)2 e2 -1 =―――――――・log ―――― - ――――――― + ―――― 8 2 8 4 e2 S2=∫ {(-x+e2 )-(2x-xlogx)}dx (e2 -1)/2 e2 =∫ (-3x+e2 +xlogx)dx (e2 -1)/2 (e2 -1)2 e2 -1 3(e2 -1)2 e2 -1 =- ―――――――・log ―――― + ――――――――― + ―――― 8 2 8 4 したがって、 e4 -1 S=S1+S2=―――― ………(答) 4