質問＜７０８＞２００１／１１／２８
from=３年１０組１２番
「微積分」

期末テストが金曜日から行われます。今回の数学のテスト範囲については、
全て学校のプリントからということですが、病院に行ってて、1回授業を受
けていないんです。一応解いてみたんだけど合っているかどうか自信があり
ません。答え合わせという形になりますが、解いていただけませんでしょう
か。お願いします。

logは自然対数とし、自然対数の底をｅで表す。関数
f(x)＝２ｘ－ｘｌｏｇｘ（ｘ＞０）
について、次の問いに答えよ。

(1)関数f(x)の増減、そのグラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)曲線ｙ＝f(x)上の点(ｅ^2、f(e^2））における接線ｌ(エル）の方程式を
　求めよ。また、ｙ＝f(x)の接線のうち、直線lに直交する直線ｍの方程式
　を求めよ。
(3)(2)における２直線ｌ、ｍと曲線ｙ＝f(x)で囲まれた部分の面積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(01　愛媛大・理,医,工）

お返事２００１／１１／３０
from=武田

問１
ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘlogｘ

ｆ′（ｘ）＝２－logｘ－１
　　　　　＝１－logｘ

　　　　　　　１
ｆ″（ｘ）＝－―
　　　　　　　ｘ

ｆ′（ｘ）＝０より、ｘ＝ｅ

ｆ″（ｘ）＝０となるｘは無い。

ｆ（ｅ）＝２ｅ－ｅlogｅ
　　　　＝２ｅ－ｅ
　　　　＝ｅ

０＜ｘ＜ｅで増加、ｅ＜ｘで減少
ｘ＝ｅにおいて、極大値ｅ
上に凸、グラフは上記。

問２
ｆ（ｅ2 ）＝２ｅ2 －ｅ2 logｅ2 
　　　　　＝２ｅ2 －２ｅ2 
　　　　　＝０

ｆ′（ｅ2 ）＝１－logｅ2 
　　　　　　＝１－２
　　　　　　＝－１

ｙ－０＝－１（ｘ－ｅ2 ）
∴ｙ＝－ｘ＋ｅ2 　………直線Ｌ

－１×ｍ＝－１より、
ｍ＝１
ｆ′（ｘ）＝１－logｘ＝１
logｘ＝０
∴ｘ＝１

ｆ（１）＝２－log１
　　　　＝２

ｙ－２＝１（ｘ－１）
∴ｙ＝ｘ＋１　………直線Ｍ

問３
交点は連立して
－ｘ＋ｅ2 ＝ｘ＋１
２ｘ＝ｅ2 －１

　　　ｅ2 －１
∴ｘ＝――――
　　　　２

囲まれた面積は、２つに分かれる。
　　　（ｅ2 －１）／２
Ｓ1＝∫　　｛（ｘ＋１）－（２ｘ－ｘlogｘ）｝ｄｘ
　　　１

　　　　（ｅ2 －１）／２
　　＝∫　　｛－ｘ＋１＋ｘlogｘ）ｄｘ
　　　　１

　　　（ｅ2 －１）2 　　　　ｅ2 －１　　　　（ｅ2 －１）2 　　　ｅ2 －１
　　＝―――――――・log　――――　－　―――――――　＋　――――
　　　　　　８　　　　　　　　２　　　　　　　８　　　　　　　　４

　　　ｅ2 
Ｓ2＝∫　　｛（－ｘ＋ｅ2 ）－（２ｘ－ｘlogｘ）｝ｄｘ
　　　（ｅ2 －１）／２

　　　　ｅ2 
　　＝∫　　（－３ｘ＋ｅ2 ＋ｘlogｘ）ｄｘ
　　　（ｅ2 －１）／２

　　　　　（ｅ2 －１）2 　　　　ｅ2 －１　　　　３（ｅ2 －１）2 　　　　ｅ2 －１
　　＝－　―――――――・log　――――　＋　―――――――――　＋　――――
　　　　　　　　８　　　　　　　　２　　　　　　　　８　　　　　　　　　４

したがって、
　　　　　　　ｅ4 －１
Ｓ＝Ｓ1＋Ｓ2＝――――　………（答）
　　　　　　　　　４