質問＜７１４＞２００１／１２／２
from=たか
「円柱」

r=5の球に内接する直円柱の面積が最大のときの、
底面の半径，高さ、体積を求めよ。

お返事２００１／１２／６
from=武田

直円柱の表面積とすると、
Ｓ＝２πｒ2 ＋２πｒｈとなり、
微分して、極大を求めると、計算が難しくなる。

多分、表面積ではなく、側面積のことだろう。
側面積でやると、
Ｓ＝２πｒｈ

図より、三平方の定理から、
５2 ＝ｒ2 ＋（ｈ／２）2 

Ｓ＝２πｒ・２√（２５－ｒ2 ）
　＝４πｒ・√（２５－ｒ2 ）

微分して、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－２ｒ
Ｓ′＝４π・√（２５－ｒ2 ）＋４πｒ・―――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２√（２５－ｒ2 ）

　　　１００π－８πｒ2 
　　＝―――――――――
　　　　√（２５－ｒ2 ）

Ｓ′＝０より、
１００π－８πｒ2 ＝０
８πｒ2 ＝１００π

　　　１００
ｒ2 ＝―――
　　　　８

平方根をとると、ｒ＞０より、
　　　　１０　　５　５√２
∴ｒ＝―――＝――＝―――　………（答）
　　　２√２　√２　　２

高さｈ＝２√（２５－ｒ2 ）

　　　　　　　　　　１００
　　　＝２√（２５－―――）＝√５０＝５√２　………（答）
　　　　　　　　　　　８

体積Ｖ＝πｒ2 ｈ

　　　　　　１００　　　　　１２５√２
　　　＝π・―――・５√２＝―――――π　………（答）
　　　　　　　８　　　　　　　　２