質問＜７１９＞２００１／１２／５
from=akiko masuda
「Σの証明」

∑（ｋ＝1～ｎ）ｋの2乗＝ｎ（ｎ＋1）（2ｎ＋1）/6となる公式ですが、
証明方法がわかりません。教えていただけないでしょうか？
（帰納法以外で）

お返事２００１／１２／５
from=武田

展開の公式より、
（ｎ＋１）3 －ｎ3 ＝３ｎ2 ＋３ｎ＋１

順にｎ＝１，２，３，………，ｎを代入すると、

２3 －１3 ＝３・１2 ＋３・１＋１
３3 －２3 ＝３・２2 ＋３・２＋１
４3 －３3 ＝３・３2 ＋３・３＋１
………………
ｎ3 －(n-1)3 ＝３・(n-1)2 ＋３・(n-1)＋１
(n+1)3 －ｎ3 ＝３・ｎ2 ＋３・ｎ＋１

上から下まで加えると、左辺は打ち消し合うので、
　　　　　　　　　n　　　　　　n
(n+1)3 －１3 ＝３・Σ　ｋ2 ＋３・Σ　ｋ＋ｎ
　　　　　　　　　k=1　　　　　k=1

n　　　ｎ（ｎ＋１）
Σ　ｋ＝――――――　より、
k=1　　　　　２

　　n　　　　　　　　　　　　　　　ｎ（ｎ＋１）
３・Σ　ｋ2 ＝（ｎ＋１）3 －１－３・――――――－ｎ
　　k=1　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―（２ｎ3 ＋６ｎ2 ＋６ｎ＋２－２－３ｎ2 －３ｎ－２ｎ）
　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―（２ｎ3 ＋３ｎ2 ＋ｎ）
　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―ｎ（２ｎ2 ＋３ｎ＋１）
　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
　　　　　　　２

したがって、
n　　　　１
Σ　ｋ2 ＝―ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
k=1　　　６

証明終了

お便り２００１／１２／１３
from=akiko masuda

ありがとうございました！お返事遅れて申し訳ないです。
すごい分かりやすかったです！
 
ところで∑（k＝1～n）kがn（n＋1）/2
というのが分からない状態で証明するのはどうすればいいでしょうか？
 
低レベルですいません。

お返事２００１／１２／１４
from=武田

n　　　ｎ（ｎ＋１）
Σ　ｋ＝――――――　を証明してみよう。
k=1　　　　　２

１＋２＋３＋………＋ｎ＝Ｓとおくと、
ガウスが少年の頃考えた逆を足す考え方で、

Ｓ＝１＋　２　＋３　＋………＋ｎ
Ｓ＝ｎ＋(n-1)＋(n-2)＋………＋１（＋
――――――――――――――――――
２Ｓ＝(1+n)＋{2+(n-1)}＋{3+(n-2)}＋………＋(n+1)
　　＝(n+1)＋(n+1)＋(n+1)＋………＋(n+1)
　　＝（ｎ＋１）×ｎ
したがって、
　　ｎ（ｎ＋１）
Ｓ＝――――――
　　　　２

証明終了