質問<719>2001/12/5
∑(k=1~n)kの2乗=n(n+1)(2n+1)/6となる公式ですが、 証明方法がわかりません。教えていただけないでしょうか? (帰納法以外で)
お返事2001/12/5
from=武田
展開の公式より、 (n+1)3 -n3 =3n2 +3n+1 順にn=1,2,3,………,nを代入すると、 23 -13 =3・12 +3・1+1 33 -23 =3・22 +3・2+1 43 -33 =3・32 +3・3+1 ……………… n3 -(n-1)3 =3・(n-1)2 +3・(n-1)+1 (n+1)3 -n3 =3・n2 +3・n+1 上から下まで加えると、左辺は打ち消し合うので、 n n (n+1)3 -13 =3・Σ k2 +3・Σ k+n k=1 k=1 n n(n+1) Σ k=―――――― より、 k=1 2 n n(n+1) 3・Σ k2 =(n+1)3 -1-3・――――――-n k=1 2 1 =―(2n3 +6n2 +6n+2-2-3n2 -3n-2n) 2 1 =―(2n3 +3n2 +n) 2 1 =―n(2n2 +3n+1) 2 1 =―n(n+1)(2n+1) 2 したがって、 n 1 Σ k2 =―n(n+1)(2n+1) k=1 6 証明終了
お便り2001/12/13
from=akiko masuda
ありがとうございました!お返事遅れて申し訳ないです。 すごい分かりやすかったです! ところで∑(k=1~n)kがn(n+1)/2 というのが分からない状態で証明するのはどうすればいいでしょうか? 低レベルですいません。
お返事2001/12/14
from=武田
n n(n+1) Σ k=―――――― を証明してみよう。 k=1 2 1+2+3+………+n=Sとおくと、 ガウスが少年の頃考えた逆を足す考え方で、 S=1+ 2 +3 +………+n S=n+(n-1)+(n-2)+………+1(+ ―――――――――――――――――― 2S=(1+n)+{2+(n-1)}+{3+(n-2)}+………+(n+1) =(n+1)+(n+1)+(n+1)+………+(n+1) =(n+1)×n したがって、 n(n+1) S=―――――― 2 証明終了