質問<724>2001/12/8
f(x)を周期1の周期関数とする。 すなわち、f(x+1)=f(x)(-∞<x<∞)とする。aを実数とし、 1 p=∫ e^axf(x)dxとするとき、次の問いに答えよ。 0 n+1 (1)nを自然数とするとき、∫ e^axf(x)dxをpを用い n て表せ。 n (2)nを自然数とするとき、∫ e^axf(x)dxをpを用いて表せ。 0 (3)周期1の周期関数f(x)が0≦x≦1の範囲で f(x)=-│x-1/2│+3/2であるとき、 n lim∫e^-xf(x)dxを求めよ。(H.11北海道大・理系) n→∞0 以上です。お願いします
お返事2001/12/26
from=Hoshino
(1) t = x - n と置く。 ∫_n^(n+1) e^(ax) f(x) dx = ∫_0^1 e^(a(t + n)) f(t + n) dt = e^(an) ∫_0^1 e^(at) f(t) dt … 周期性による。 = e^(an) p. (2) ∫_0^n e^(ax) f(x) dx =Σ_(k = 0)^(n-1)∫_k^(k+1) e^(ax) f(x) dx = Σ_(k = 0)^(n-1) pe^(ak). = p(1 - e^(an))/(1-e^a) (3) は計算が面倒なので p を求めて, a = -1 を用いれば 無限等比級数になって計算できるということで (^_^;;