質問

はじめまして！
私は大学生なのですが、授業でどうしてもわからない問題があるので、
よろしければ教えていただけませんか？

問題１．
うろこ模様（各点からは６本の線が出ており、各面は３本の境界線で囲
まれている。割り込み線はない。）の線をどのように歪めてみても、上
の括弧内の特徴が保たれている限り、この模様で球面を覆うことが出来
ないことを証明せよ。

問題２．
面はすべて３角形で、３本の線（稜)が出ているｐ（＞０）個の点(頂点）
と４本の線(稜）が出ているｑ個の点（頂点）からなる多面体がある。
ｐとｑの間にはどんな関係が成り立つか。またこの関係を満たす多面体
にはどういうものがあるか。多面体の見取り図を書くのが難しければ、
開き図形をかけ。

です。よろしくお願いします。

お便り２００２／９／４
from=juin

問題１。
うろこ模様で球面が覆われたとする。
この時、頂点をv個、辺をe本、面をf個とする。ここで、A=v-e+fとする。
次に、辺を１本取り除くと、面が１つ減るので、
v-(e-1)+(f-1)=Aで変わらない。
辺を１本ずつ除いていくと最後の１本が残っている時には、
v=2,e=1,f=1となり、A=2である。（１）
一方、各頂点から６本の辺が出ていて、各辺には両端に頂点があるから、
6v=2e,3v=eである。
また、各辺の両側に面があり、各面は３本の辺で囲まれているから、
2e=3fとなる。よって、A=v-e+f=v-3v+2v=0である。（２）
（１）と（２）は矛盾する。
よって、最初の仮定「うろこ模様で球面が覆われたとする。」が偽である。

問題２。
多面体の頂点をv=p+q個、辺をe本、面をf個とすると、問題１。で考え
たようにv-e+f=2である。（１）
頂点と辺の関係は、3p+4q=2e。辺と面の関係は、2e=3f.これらを（１）
へ代入すると、(p+q)-(3p+4q)/2+(3p+4q)/3=2
6(p+q)-3(3p+4q)+2(3p+4q)=12
6(p+q)-(3p+4q)=12
3p+2q=12
例１。p=4,q=0のとき、四面体
例２。p=2,q=3のとき、２つの合同な正四面体を１つの面で
張り合わせた６面体