質問

[1,2,2,2,2,2,2・・・・]の漸化式は
An+1=1+1/(1+An)
limAn（n→∞）が収束する証明で、
|An+1－An|＜＝1/2＊1/（4）n-1乗となりました。
これを使用してAnが収束することを証明して欲しいのです。
ちなみにlim|An+1-An|=0（n→∞）っていうのは反例があって使用不可。
微分積分を使用したら出来るそうなのですが・・・・

お返事２００１／１２／３１
from=武田

先に反例を紹介すると、 のとき、

となるが、 (発散)となってしまう。

したがって、上の条件　だけでは、収束するとはいえない。

あと２つ条件が必要となる。

（培風館発行「詳説演習・微分積分学」P.8参照、A1＝２のときとする）

　　①偶数列｛A2n｝が単調増加、奇数列｛A2n-1}が単調減少となること。

　　②A2≦An≦A1　（ｎ＝1,2,3,………）

①の証明(数学的帰納法で)

    すべてのｎに対して、An＞０は明らか。

　　ｎのとき、　が成り立つとすると、

　　n+1のとき、

②の証明

　　すべてのｎに対して、An＞０だから、

              したがって、An+1＜A1（ｎ＝1,2,3,………）

　　　　　　　　An＜A1（ｎ＝2,3,4………）

　　　　　　　　したがって、

この２つの証明とによってはじめて、

　が収束することが言える。

※別解として、縮小写像の考え方があるそうだが、

詳しくは上記の本のp.9をご覧ください。