質問

∑計算の練習やってるうちに、このような法則があるのではないかと思
ったのですが、真偽を証明することはできるでしょうか。
 n  m+p   n+p+1
∑ (Πｋ)= Π k /p+2  (pは0以上の定数）
m=1 k=m   k=n

お便り２００２／１／５
from=ｄ３

質問＜７５３＞の解答です．
＞pは0以上の定数
これは自然数ということですね．
Σはfrom　m＝1　to　n　とします．
∑m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)＝n(n＋1)(n＋2)・・・(n＋p＋1)/(p＋2)
を示せばいいのですね．
証明はじめ＞＞
　m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)
＝｛m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)｝×[｛(m＋p＋1)－(m－1)｝/(p＋2)］
（(∵)うしろの［］の中は１です！）
＝［｛m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)(m＋p＋1)｝
　　－{(m－1)m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)｝］/(p＋2)
ここで，A[n]＝n(n＋1)(n＋2)・・・(n＋p＋1)  とすると，
　m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)
＝｛A[m]－A[m－1]｝/(p＋2)
したがって，証明すべき式の左辺を(p＋2)倍しておくと，
　(p＋2)×∑m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)
＝(A[1]－A[0])＋(A[2]－A[1])＋(A[3]－A[2])＋・・・
　　＋(A[n]－A[n－1])
＝A[n]
（(∵)A[0]＝0　）
よって，問題の式は証明されました．

お返事２００２／１／５
from=武田

ｄ３さんの証明は見事ですね。
私は「差分・和分」の本を読んでみました。
計算ができましたので、参考までお知らせします。

前提として、次の３つを紹介します。
①階乗関数として、

②和分の公式

③定和分の公式

与式の左辺＝

         （∵ より）

        ＝右辺