質問<777>2002/2/2
実数t>1に対し、xy平面上の点 O(0、0) P(1、1) Q(t、1/t) を頂点とする三角形の面積をa(t)とし、線分OP、OQと双曲線xy=1 とで囲まれた部分の面積をb(t)とする。 このとき c(t)=b(t)/a(t) とおくと、関数c(t)はt>1においてつねに減少することを示せ。 という問題です。宜しくお願いします。
お返事2002/2/6
from=武田
未解決問題に移しました。 誰かアドバイスをください。 CharlieBrownさんからアドバイスが届きました。感謝!!
お返事2002/2/12
from=CharlieBrown
計算を省略して、要点だけ記します。 t^2-1 a(t) = ------- 2t t dx b(t) = ∫ ---- = logt 1 x となるので、問題は、 b(t) 2tlogt c(t) = ------ = -------- a(t) t^2-1 が、t>1で減少すること、 つまり、微分c'(t)がt>1で常に負であることを示せばよいわけです。 -2(t^2+1)logt-2t^2+2 c'(t) = ----------------------- (t^2-1)^2 ですから、この式がt>1で負になるかどうかを考察します。 分母は常に正ですから、分子の正負がそのままc'(t)の正負と一致します。 そこで、分子を改めてd(t)とおき、その正負を調べます。 d(t) = -2(t^2+1)logt-2t^2+2 を微分した 2 d'(t) = -4tlogt -6t - --- t は明らかにt>1で負であるから d(t)はt>1で減少関数で、d(1) = 0なので、 確かに関数d(t)はt>1で常に負です。 よって関数c(t)はt>1でtの減少関数であることが示されました。