質問＜７８５＞２００２／２／１３
トランプをシャッフルするアルゴリズムの一例。
場[1]～[52]にカードが置かれている。一様乱数1～52を生成して
その位置にカードがあれば配る。カードがなければ乱数発生から繰り返し。
２枚目のカードを決めるのに，１回・２回・ｉ回でカードが決まる確率は
それぞれ，51/52, 51/52^2, 51/52^i。よってその期待値は [ a ]。
52枚すべてを配り終わるまでのこの（乱数生成回数の）期待値の総和は [ b ]。
[ a ]… 51×Σ{i=1～∞} i/52^i であることは分かるのですが，
この式を展開できません。
[ b ]… [ a ] を前提とした解答なのですが，どんな式になるのでしょう。
また，値に展開できるのでしょうか。
お返事２００２／２／１５
from=武田
誰かアドバイスを下さい。 h.k.さん本人からアドバイスが届きました。感謝！？ CharlieBrownさんから解答が届きました。感謝！！
お便り２００２／２／１５
from=h.k.
質問＜785＞「トランプ乱数取出の期待値，Σ」の質問者本人です。
過去の質問を片っ端から調べてみたのですが，
質問＜785＞h.k.「トランプ乱数取出の期待値，Σ」
[ a ]… 51×Σ{i=1～∞} i/52^i
質問＜388＞ももっち「Σの計算」
Ⅲ… Σ{k=1～ｎ} k*3^k
この２つの式はなんだか似てるなぁ…なんて思ったりしました。
等比数列の和の公式を使っている，ということはいちおう調べました。
数学は苦手ですのでそれだけです，
ごめんなさい。まだ解けてません(^_^;
お便り２００２／２／１８
from=CharlieBrown
h.k.さんの指摘の通り、2つのΣの式は同じ方法で計算します。
1枚目はどんな乱数が出ても必ず場にはトランプがあるので、1回の試行
でトランプを取り出すことができ、その確率は1ですから、1枚目の取出
し回数の期待値はE1＝1×1＝1となります。
2枚目のトランプ取り出しについて考えてみます。1枚目が除かれている
ので、乱数が除かれた場を指せばもう一度乱数を発生させなければなり
ません。従って、1回の試行で取り出す確率は51/52、取り出せない確率
は1/52です。よって、2枚目のトランプをk回の試行で取り出せる確率は、
それ以前の(k-1)回の試行全てで取り出せず、k回目でようやく取り出せ
る確率ですから、(1/52)^(k-1)×51/52＝51/52^kとなります。よって、
2枚目の取出し回数の期待値は、
E2＝1×51/52＋2×51/52^2＋3×51/52^3＋…＋k×51/52^k＋…という無
限級数を計算することになります。
これを計算するにあたって、そのk項目までの部分和Skを求めます。
51 51 51
Sk＝1×---＋2×-----＋…＋k×-----
52 52^2 52^k
1 51 51 51
--Sk＝ 1×-----＋…＋(k-1)×-----＋k×-----
52 52^2 52^k 52^(k+1)
両辺の差を求めれば、
51 51 51 51 51
--Sk＝1×---＋1×-----＋…＋1----- －k×--------
52 52 52^2 52^k 52^(k+1)
(51/52)×(1-1/52^k) 51
＝--------------------- －k×--------
1 - 1/52 52^(k+1)
1 51k
＝1 － ----- - ---------
52^k 52^(k+1)
52 52＋51k
∴Sk＝--- － ----------
51 51×52^k
この第2項はk→∞で0に収束するので、結局E2＝52/51となります。
同様の計算を3枚目について行えば、E3＝52/50、ｎ枚目について行えば、
En＝52/(53-n) （ただしn=1,2,…,52）となります。
（ここで、0＜r＜1のとき、k×r^k→0(k→∞)という公式を用います）
従って、全てのトランプを取出す回数の期待値Eは、Enをn=1から52まで
加えた値で、
52 52 52 52
E＝----＋---＋---＋…＋---≒235.978
52 51 50 1
と求まります。