質問＜７８６＞２００２／２／１５
from=3年10組12番
「ベクトルの論証問題」

二次試験までとうとう10日になりました。はやいものですな。
まあ、それはいいとして、おそらく質問するのは、今日で最後
になると思います。（浪人したら話は別）
学校の宿題で出された問題です。考えても全然分かりませんで
した。この問題を解いてください。

平地に 3 本のテレビ塔がある．ひとりの男がこの平地の異なる
 3 地点 A，B，C に立って，その先端を眺めたところ，どの地点
でもそのうち2本の先端が重なって見えた．
このとき A，B，C は一直線上になければならない．
この理由を述べよ．

という問題です。これはベクトルを使って証明すると言われま
したけど、さっぱりです。宜しくお願いします。

お返事２００２／２／１６
from=武田

※CharlieBrownさんから、私の解答の下にアドバイスを頂きました。
感謝！！



メネラウスの定理を利用して、ベクトルを使って、
証明してみよう。

とおくと、

したがって、 より、

３人は一直線上にいる。

お便り２００２／２／１８
from=CharlieBrown

この問題は空間図形の問題なので、最終的にはメネラウスの定理の逆を
用いますが、まず初めに塔の高さと3地点の位置関係を考察する必要が
あります。

平地に立っている「高さの異なる」3本のテレビ塔があるとします。その
うちの2本に注目した場合、高さの異なる塔の先端が重なって見える場所
が平地内に1箇所存在します。
　　　　　P'
　　　Q'／｜
　　　／　｜
　　／｜q ｜p
　／　｜　｜
∠――┴―┘
A     Q   P
図のように、2本の塔PP'とQQ'では、平地上の点Aから見ると先端が重なっ
て見えます。このとき、塔の高さをそれぞれp、qとすると、三角形の相似
から、
AQ   QQ'  q
---＝---＝--
AP   PP'  p
が成り立ちます。

塔の立っている平地上の点をP、Q、Rとし、各々の塔の先端をP'、Q'、R'
とします。塔の高さをPP'＝p、QQ'＝q、RR'＝rとします。また、P'とQ'
の重なって見える点をA、Q'とR'の重なって見える点をB、R'とP'の重な
って見える点をCとします。
上と同じようにして、相似の関係から、
AQ   QQ'  q　BQ   QQ'  q  CR  RR'   r
---＝---＝-- ---＝---＝-- ---＝---＝--
AP   PP'  p ,BR   RR'  r, CP  PP'   p
が成り立ちます。
よって、平地上の6点、A、B、C、P、Q、Rについて、
PA   QB   RC   p   q   r
---・---・---＝--・--・--＝1
AQ   BR   CP   q   r   p
となるので、メネラウスの定理の逆から、3点A、B、Cは一直線上にある
ことがわかります。

ちなみに、メネラウスの定理の逆は次のようなものです。
「三角形PQRの3辺PQ、QR、RPまたはその延長上にある点をそれぞれA、B、
Cとする。ただしA、B、Cはどれも三角形の頂点P、Q、Rのどれとも重なら
ないものとする。このとき、
PA   QB   RC
---・---・---＝1
AQ   BR   CPが成り立てば、3点A、B、Cは一直線上にある。」
証明はベクトルを使えば容易です。

お便り２００２／６／８
from=ｄ３

その前に，ギモンに思っていることがあります．

「テレビ塔の３つの先端を含む平面は１つに決まり，
　この平面上に３点A，B，Cがあるわけですが，
　このA，B，Cの３点は地面の平面上にもあるわけです．
　となると，
　先端を含む平面と地面の平面の共通部分に，
　３点は存在することになって，
　もちろん共通部分は直線なので，A，B，Cは一直線上にある．」
これではいけませんか？