質問<81>98/11/8
質問2の方と同じく、大学への編入学を志すものですが、経 済学部のため数学に困り果てております。どうか以下につい ておしえてください。(ちなみにその試験の過去問題です) lP 1-Pl 行列A A=l l l1-q ql (端の線はカッコです)のとき、 1 行列Aの固有値を求めよ。 2 lim Anを求めよ。 n→∞ お願いいたします。
お返事98/11/10
from=武田
すっかり忘れていましたので、参考書を見直しました。 1 行列Aの固有値を求めよ。 AX=λXより、|A-λE|X=0 固有方程式|A-λE|=0 |(p 1-p) (λ 0)| |( )-( )|=0 |(1-q q) (0 λ)| より |(p-λ 1-p)| |( )|=0 |(1-q q-λ)| 行列式の計算をして、 (p-λ)(q-λ)-(1-p)(1-q)=0 λ2-1-(p+q)(λ-1)=0 (λ-1)(λ+1-p-q)=0 ∴λ=1,p+q-1……(答) 2 lim Anを求めよ。 n→∞ 固有値より (1 0) S-1AS=( ) (0 p+q-1) 両辺をn乗して (1n 0) (S-1AS)n=( ) (0 (p+q-1)n) 左辺を変形して (S-1AS)n =(S-1AS)(S-1AS)(S-1AS)…… =S-1AS・S-1AS・S-1AS…… =S-1AnS したがって、 (1n 0) S-1AnS=( ) (0 (p+q-1)n) 左側からSを掛け、右側からS-1を掛けると、 (1n 0) An=S( )S-1 (0 (p+q-1)n) SとS-1はAX=λXから計算する。 λ=1のとき、 (1) X=( ) (1) λ=p+q-1のとき、 ( 1 ) X=( ) ((q-1)/(1-p)) Sはこの2つのXを縦に組み合わせて、 (1 1 ) S=( ) (1 (q-1)/(1-p)) このSより、逆行列S-1は ((q-1)/(p+q-2) (p-1)/(p+q-2)) S-1=( ) ((p-1)/(p+q-2) (1-p)/(p+q-2)) 上の式に代入して計算すると、 An (1 1 )(1n 0)((q-1)/(p+q-2) (p-1)/(p+q-2)) =( )( )( ) (1 (q-1)/(1-p))(0 (p+q-1)n)((p-1)/(p+q-2) (1-p)/(p+q-2)) 1 ((q-1)+(p-1)(p+q-1)n (p-1)-(p-1)(p+q-1)n) =───( ) p+q-2 ((q-1)-(q-1)(p+q-1)n (p-1)+(q-1)(p+q-1)n) 場合分けをして、 ①p+q≦0または、p+q>2の場合 lim (p+q-1)nは発散……(答) n→∞ ②0<p+q<2の場合 lim (p+q-1)n=0より、 n→∞ 1 (q-1 p-1) lim An=───( )……(答) n→∞ p+q-2(q-1 p-1) ③p+q=2の場合 lim (p+q-1)n=1より、 n→∞ (1 0) lim An=( )……(答) n→∞ (0 1)