質問＜８１＞９８／１１／８
from=河野
「行列」

質問２の方と同じく、大学への編入学を志すものですが、経
済学部のため数学に困り果てております。どうか以下につい
ておしえてください。（ちなみにその試験の過去問題です）

　　　　　　　　ｌP　1-Pｌ
行列Ａ　　　Ａ＝ｌ　　  ｌ
　　　　　　　　ｌ1-q　qｌ
（端の線はカッコです）のとき、
１　行列Ａの固有値を求めよ。
２　lim　Ａnを求めよ。
　　n→∞
お願いいたします。

お返事９８／１１／１０
from=武田

すっかり忘れていましたので、参考書を見直しました。

１　行列Ａの固有値を求めよ。

ＡＸ＝λＸより、｜Ａ－λＥ｜Ｘ＝０
固有方程式｜Ａ－λＥ｜＝０
　　｜（ｐ　１－ｐ）　（λ　　０）｜
　　｜（　　　　　）－（　　　　）｜＝０
　　｜（１－ｑ　ｑ）　（０　　λ）｜
より
　　｜（ｐ－λ　１－ｐ）｜
　　｜（　　　　　　　）｜＝０
　　｜（１－ｑ　ｑ－λ）｜
行列式の計算をして、
　　(ｐ－λ)(ｑ－λ)－(１－ｐ)(１－ｑ)＝０
　　λ2－１－(ｐ＋ｑ)(λ－１)＝０
　　(λ－１)(λ＋１－ｐ－ｑ)＝０
　　∴λ＝１，ｐ＋ｑ－１……（答）

２　lim　Ａnを求めよ。
　　n→∞

固有値より
　　　　　（１　　　　　０）
Ｓ-1ＡＳ＝（　　　　　　　）
　　　　　（０　ｐ＋ｑ－１）
両辺をｎ乗して
　　　　　　　（１n　　　　　０）
（Ｓ-1ＡＳ）n＝（　　　　　　　）
　　　　　　　（０　(ｐ+ｑ-１)n）
左辺を変形して
（Ｓ-1ＡＳ）n
＝（Ｓ-1ＡＳ）（Ｓ-1ＡＳ）（Ｓ-1ＡＳ）……
＝Ｓ-1ＡＳ・Ｓ-1ＡＳ・Ｓ-1ＡＳ……
＝Ｓ-1ＡnＳ
したがって、
　　　　　（１n　　　　　０）
Ｓ-1ＡnＳ＝（　　　　　　　）
　　　　　（０　(ｐ+ｑ-１)n）
左側からＳを掛け、右側からＳ-1を掛けると、
　　　 （１n　　　　　０）
Ａn＝Ｓ（　　　　　　　　）Ｓ-1
　　　 （０　(ｐ+ｑ-１)n）
ＳとＳ-1はＡＸ＝λＸから計算する。
λ＝１のとき、
　　　　（１）
　　Ｘ＝（　）
　　　　（１）
λ＝ｐ＋ｑ－１のとき、
　　　　（　　１　　　）
　　Ｘ＝（　　　　　　）
　　　　（(q-1)/(1-p)）
Ｓはこの２つのＸを縦に組み合わせて、
　　　　（１　　　　１　　）
　　Ｓ＝（　　　　　　　　）
　　　　（１　(q-1)/(1-p)）
このＳより、逆行列Ｓ-1は
　　　　　（(q-1)/(p+q-2)　(p-1)/(p+q-2)）
　　Ｓ-1＝（　　　　　　　　　　　　　　　 ）
　　　　　（(p-1)/(p+q-2)　(1-p)/(p+q-2)）
上の式に代入して計算すると、
Ａn　（１　　　　１　　）（１n　　　　　０）（(q-1)/(p+q-2)　(p-1)/(p+q-2)）
＝（　　　　　　　　）（　　　　　　　 ）（　　　　　　　　　　　　　　　）
　（１　(q-1)/(1-p)）（０　(ｐ+ｑ-１)n）（(p-1)/(p+q-2)　(1-p)/(p+q-2)）

　　１　（(q-1)+(p-1)(p+q-1)n　(p-1)-(p-1)(p+q-1)n）
＝───（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ）
　p+q-2 （(q-1)-(q-1)(p+q-1)n　(p-1)+(q-1)(p+q-1)n）
場合分けをして、
①ｐ＋ｑ≦０または、ｐ＋ｑ＞２の場合
　　lim　(p+q-1)nは発散……（答）
　　n→∞
②０＜ｐ＋ｑ＜２の場合
　　lim　(p+q-1)n＝０より、
　　n→∞
　　　　　　　　１　（q-1　p-1）
　　lim　Ａn＝───（　　　　　）……（答）
　　n→∞　　　p+q-2（q-1　p-1）
③ｐ＋ｑ＝２の場合
　　lim　(p+q-1)n＝１より、
　　n→∞
　　　　　　　（１　０）
　　lim　Ａn＝（　　　）……（答）
　　n→∞　　 （０　１）