質問<839>2002/5/15
初めまして。これからお世話になりたいと思ってます。 早速ですが、 <問1> 平面上の点Oを中心とする半径rの円周上に、3点A,B,Cがある。 各点に対して、中心Oからの位置ベクトルを、それぞれ ─→ → ─→ → ─→ → OA=a OB=b OC=c とする。さらに位置ベクトル ─→ → → → OH=a+b+c として、点Hを定める。 ─→ ─→ (1) AHとBCの内積を求めよ。 → → (2) 点A、Bを固定し、a,bのなす角が120度とす る。点Cがこの円周上を動くとき、点Hの軌跡はど うなるか。 (1)は解けたのですが、(2)は無理です。よろしくお願いします!! <問2> 平面上に三角形ABCと点Oがある。 (1)実数a、b、cがa≧0、b≧0.c≧0、a+b+ c=1を 満たすように動くとき ─→ ─→ ─→ ─→ OP=aOA+bOB+cOCで定められる点Pの描 く図形を求めよ。 (2)実数a,b,cがa≧-1、b≧0、c≧0、a+b+c=1 を満たすように動くとき ─→ ─→ ─→ ─→ OP=aOA+bOB+cOCで定められる点Pの描 く図形を求めよ。 よろしくお願いします。
お便り2002/6/7
from=fan
{ }はベクトルを表すとします。 問1(2) {a}+{b}が固定されることになりますが、この点と O,A,Bとの距離は全てrとなります。 よって|{c}|=rより、Hは{a}+{b}で表される点を中心とする 半径rの円周上を動くことが分かります。 結局Hは3点O,A,Bを通る円周上を動きます。 問2(1) 線分BCをc:bに内分する点をQとおくと、線分AQをb+c:aに 内分する点を考えればこれが点Pに一致することが分かります。 すると、点Qは線分BC上を動き、点Pは線分AQ上を動くので、 結局Pは三角形ABCの周及び内部を動きます。 (2) 今度はa≧-1なので、直線AQ上に、Aから見てQと同じ側に AQ'=2AQとなる点Q'をとると、Pは線分AQ'上を動きます。 よって、Q'と同じようにB',C'をとると、Pは三角形AB'C' の周及び内部を動きます。