質問＜８５５＞２００２／６／４
from=店長
「あみだくじの1対1対応の証明」

家庭教師の担当の教え子から尋ねられて
答えられなかったのですが、
”あみだくじのスタートとゴールが一対一に対応する
ことを証明せよ”という問題がありまして
わかりやすく証明するにはどうしたらよいですか？
よろしくお願いいたします。

お便り２００２／６／４
from=toshi

｜Ａ　　　　　　｜
｜　　　　　　　｜
｜　　　　　　　｜
｜－－－Ｂ－－－｜
｜　　　　　　　｜
｜　　　　　　　｜
｜　　　　　　Ｃ｜

全てのあみだくじは基本的に上図のような形をしている。
ここで、Ａからあみだを始めれば必ずＢに。
また逆にＢから始めれば（逆さに進めば）Ａに到着する。
つまり分岐点が１つの時は一意的に出発点と到着点は一対一
の対応をする。
今あみだの分岐点を上図のようにABCD…Zとおくと
A（出発）⇔B（到着）であり、Bを出発点ととらえればB（出発）⇔C（到着）。
つまりA（出発）⇔B⇔C⇔D⇔E…Z（到着）
よってスタートとゴールは一対一に対応する。

こんな感じではどうでしょうか。

お便り２００２／６／５
from=店長

toshiさんへ
”あみだくじの１対１対応の証明”について
ご返答ありがとうございました
これで生徒にわかりやすく説明できそうです
感謝

お便り２００２／６／５
from=hiro-kim

質問<855>あみだくじの1対1対応の証明，に関して。

あみだくじとは，まず最初に，同数ずつのスタート点とゴール点を
１対１に対応するように縦線で結び，

Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ
｜　｜　｜　｜　｜
｜　｜　｜　｜　｜
ａ　ｂ　ｃ　ｄ　ｅ

任意の２本の縦線に接続するような横線を付け加えて
２本の縦線に対応する２つのゴール点の交換を繰り返す
ことで作られる。

Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ
｜　｜　｜　｜　｜
｜　｜　＋―＋　｜　←１回目。ｃとｄを交換。
＋―＋　｜　｜　｜　←２回目。ａとｂを交換。
｜　｜　｜　＋―＋　←３回目。ｃとｅを交換。
｜　｜　｜　｜　｜
ｂ　ａ　ｄ　ｅ　ｃ

５つのボールａｂｃｄｅの位置交換を何度繰り返しても，
順列は５×４×３×２×１だが，
組合せはａｂｃｄｅの１通りだけで変わらない。
よって，
あみだくじのスタートとゴールは１対１に対応する。

お便り２００２／６／１０
from=店長

hiro-kimさんへ
かなりおもしろい御回答
ありがとうございます。
いろいろな証明方法があることがわかり
驚きです。